Question

如圖，某市“八一”廣場(chǎng)要設(shè)計(jì)一個(gè)矩形花壇，花壇的長(zhǎng)、寬分別為200m、120m，花壇中有一橫兩縱的通道，設(shè)橫、縱通道的寬度分別為3x（m）、2x（m），三條通道的總面積為S（m²）．
（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出x的取值范圍；
（2）甲設(shè)計(jì)單位的方案中，通道總面積為花壇總面積的，求該設(shè)計(jì)單位設(shè)計(jì)的橫、縱通道的寬分別是多少？
（3）如果花壇綠化造價(jià)為每平方米3元，通道總造價(jià)為3168x元，乙單位根據(jù)信息，設(shè)計(jì)了花壇總造價(jià)最低的方案，你知道乙單位設(shè)計(jì)方案中橫、縱通道的寬分別為多少米嗎？花壇的最低總造價(jià)是多少元？（以下數(shù)據(jù)可供參考：85²=7225，86²=7396，87²=7569）

Answer 1

解：（1）由題意得：
S=3x•200+2x•120×2-2×6x²=-12x²+1080x
又∵x＞0，4x＜200，3x＜120，
∴解得：0＜x＜40，
即0＜x＜40；

（2）由S=×200×120，得：
則-12x²+1080x=×200×120，
即x²-90x+176=0，
解得：x=2或x=88（不合題意舍去）
故x=2，得橫、縱通道的寬分別是6m、4m．

（3）設(shè)花壇總造價(jià)為y元．
則y=3168x+（200×120-S）×3
=3168x+（24000+12x²-1080x）×3
=36x²-72x+72000
=36（x-1）²+71964，
當(dāng)x=1，即橫、縱通道的寬分別為3m、2m時(shí)，花壇總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為71964元．
分析：（1）根據(jù)等量關(guān)系“三條道路的總面積=橫通道的面積+縱通道的面積-重疊的面積”列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)等量關(guān)系“通道總面積為花壇總面積的”列出方程求解；
（3）根據(jù)等量關(guān)系“花壇總造價(jià)=綠化造價(jià)+通道造價(jià)”列出函數(shù)關(guān)系，并求得函數(shù)的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用函數(shù)方程解決實(shí)際問題，并考查了函數(shù)最大值的求解問題，根據(jù)種花的面積得到關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．