Question

【題目】操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．圖1，2，3是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況．
研究：

（1）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數量關系，并結合圖2加以證明；
（2）三角板繞點P旋轉，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由；
（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM：MB=1：3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數量關系？并結合圖4加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接PC．

∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE
（2）解：共有四種情況：
①當點C與點E重合，即CE=0時，PE=PB；
②CE=2﹣ ，此時PB=BE；
③當CE=1時，此時PE=BE；
④當E在CB的延長線上，且CE=2+ 時，此時PB=EB
（3）解：MD：ME=1：3．
過點M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分別是F、H．

∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四邊形CFMH是平行四邊形．
∵∠C=90°，
∴CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵ ，HB=MH，
∴ ．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴ ．
【解析】本題等腰三角形的判定與性質.本題考查了等腰三角形的性質與判定；此題是分類討論題，應分情況進行論證，不能漏解．輔助線的作出是解答本題的關鍵．
（1）連接PC，通過證明△DPC≌△EPB，得出PD=PE．
（2）分EP=EB、EP=PB時、BE=BP三種情況進行解答．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．