Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，PC⊥PD．PC=2，
（1）求PD的長(zhǎng)；
（2）若OD=$\sqrt{3}$-1，∠OPD=15°，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)垂直的定義得到∠PEC=∠PFD=90°，由OM是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE=PF，利用四邊形內(nèi)角和定理可得到∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°，而∠PDO+∠PDF=180°，則∠PCE=∠PDF，然后根據(jù)“AAS”可判斷△PCE≌△PDF，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到PC=PD；
（2）根據(jù)已知條件得到∠PDF=60°，解直角三角形得到PF=$\sqrt{3}$DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴∠PEC=∠PFD=90°，
∵OM是∠AOB的平分線，
∴PE=PF，
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°，
而∠PDO+∠PDF=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCE=∠PDF}\\{∠PEC=∠PFD}\\{PE=PF}\end{array}\right.$
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PD=PC=2；

（2）∵∠POD=45°，∠OPD=15°，
∴∠PDF=60°，
∴PF=$\sqrt{3}$DF，
∵PD=PC，
∴四邊形PEOF是正方形，
∴$\sqrt{3}$DF=OD+DF=$\sqrt{3}$-1+DF，
∴DF=1，
∴PF=$\sqrt{3}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等，考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是熟記角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定．