Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，AE交BF于點(diǎn)H，CG∥AE交BF于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④．其中正確的序號(hào)是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②④

Answer 1

D
分析：①根據(jù)正方形的性質(zhì)求證△BHE為直角三角形即可得出結(jié)論；
②由①求證△CGF∽△BCF．利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論；
③由①求證△BHE≌△CGF即可得出結(jié)論，
④利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論．
解答：①∵在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BEA=∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB=∠AEB
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF為直角三角形，
∴CG∥AE交BF于點(diǎn)G，
∴△BHE也為直角三角形，
∴tan∠HBE=cot∠HEB；
∴①正確．
②由①可得△CGF∽△BCF，
∴=，
∴CG•BF=BC•CF，
∴②正確；
③由①得△BHE≌△CGF，
∴BH=CG，而不是BH=FG
∴③BH=FG錯(cuò)誤；
④∵△BCG∽△BFC，
∴=，即BC²=BG•BF，
同理CF²=BF•GF，
∴=，
∴④正確，綜上所述，正確的有①②④．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，步驟繁瑣，有一定的拔高難度，屬于中檔題．