Question

12．如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的動點，連接EF，過點C作AE的平行線，與線段EF的延長線交于點D，連接CE、BD．
（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形．
（2）若AB=BC=2，∠ABC=120°，則在點E的運動過程中：
①當BE=1時，四邊形DBEC是矩形；
②當BE=2時，四邊形DBEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由AAS證明△CDF≌△BEF，得出DF=EF，即可證出四邊形DBEC是平行四邊形．
（2）①由矩形的性質(zhì)得出∠AEC=90°，得出∠BCE=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出CE=$\frac{1}{2}$BC=1即可；
②由菱形得出BE=CE，證出△BCE是等邊三角形，得出BE=BC=2．

解答 （1）證明：∵CD∥AE，
∴∠CDF=∠BEF，
∵點F是BC的中點，
∴CF=BF，
在△CDF和△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠BEF}&{\;}\\{∠CFD=∠BFE}&{\;}\\{CF=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴DF=EF，
∴四邊形DBEC是平行四邊形．
（2）解：∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴∠A=∠BCA=30°，
∴∠CBE=30°+30°=60°，
①若四邊形DBEC是矩形，
則∠AEC=90°，
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴當BE=1時，四邊形DBEC是矩形；
故答案為：1；
②若四邊形DBEC是菱形，則BE=CE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BE=BC=2；
∴當BE=2時，四邊形DBEC是菱形；
故答案為：2．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．