如圖,己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與D、C不重合),AP的垂直平分線EF分別交AD、AP、BC于點(diǎn)F、H、E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)證明:△BGE∽△HAF;
(2)判斷EF與AP是否相等,并給出證明;
(3)連AE,若△AEH的面積是△AFH面積的2倍,試求此時(shí)FG的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)已知EF垂直平分AP可得∠AHF=∠GBE易證△BGE∽△HAF.
(2)做EM垂直AD,證明四邊形EMDC為矩形,可得EM∥GA然后得證.
(3)本題要利用1,2問的答案利用三角函數(shù)進(jìn)行解答.
解答:證明:(1)在正方形ABCD中,AF∥BE,∠GBE=GAF=90°,
∵AP的垂直平分線為EF,∴∠AHF=90°,
∴∠AHF=∠GBE,(1分)
又∵∠G+∠PAG=90°,∠HAF+∠PAG=90°,
∴∠G=∠HAF.(3分)
∴△BGE∽△HAF.(4分)

(2)EF=AP.(5分)
過E作EM⊥AD交AD于M,則四邊形EMDC為矩形,
∴EM=CD=AD,(6分)
又∠EMD=90°,∠GAD=∠ADP=90°,
∴∠EMD=∠GAD=∠ADP,
∴GA∥EM.
∴∠FEM=∠G.(8分)
又由(1)△BGE∽△HAF,
∴∠FEM=∠G=∠DAP.(9分)
在△PDA和△FME中
,
∴△PDA≌△FME,∴EF=AP.(10分)

(3)由題意有:,∴EH=2FH.(11分)
.∴
又在Rt△PDA和Rt△FHA中,
由tan∠HAF=,∴DP=8,(12分)
,
.同理
∴cos∠FAH===,得AF=.(13分)
又在Rt△FAG中,
,又sinG=sin∠PAD,
∴sinG===,
得FG=
即試求此時(shí)FG的長(zhǎng)為.(14分)
〖本題解法較多,如先求BG,HG等,其它解法可比照給分〗
點(diǎn)評(píng):本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)(垂直平分線上任意一點(diǎn),和線段兩端點(diǎn)的距離相等)的有關(guān)知識(shí)以及矩形的判定定理.有一定難度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與D、C不重合),AP的垂直平分線EF分別交AD、AP、BC于點(diǎn)F、H、E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)證明:△BGE∽△HAF;
(2)判斷EF與AP是否相等,并給出證明;
(3)連AE,若△AEH的面積是△AFH面積的2倍,試求此時(shí)FG的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

己知:正方形ABCD.
(1)如圖1,點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊AB和AD上,且AE=AF.此時(shí),線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是什么?請(qǐng)直接寫出結(jié)論.
(2)如圖2,等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α,當(dāng)0°<α<90°時(shí),連接BE、DF,此時(shí)(1)中的結(jié)論是否成立,如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)如圖3,等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α,當(dāng)α=90°時(shí),連接BE、DF,猜想當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),直線DF垂直平分BE.請(qǐng)直接寫出結(jié)論.
(4)如圖4,等腰直角三角形FAE繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α,當(dāng)90°<α<180°時(shí),連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF,如果其對(duì)角線DF的長(zhǎng)度為
6
cm,那么四邊形BDEF的面積是多少?請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與D、C不重合),AP的垂直平分線EF分別交AD、AP、BC于點(diǎn)F、H、E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)證明:△BGE∽△HAF;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年廣東省廣州市番禺區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

(2010•番禺區(qū)二模)如圖,己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與D、C不重合),AP的垂直平分線EF分別交AD、AP、BC于點(diǎn)F、H、E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
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