解:(1)如圖:
S
△ABC=2a×4a-
a×2a-
×2a×2a-
a×4a=3a
2;
(2)構(gòu)造△ABC所示,(未在試卷上畫出圖形不扣分)
S
△ABC=3m×4n-
×m×4n-
×3m×2n-
×2m×2n=5mn.
(3)如圖所示:已知AB=2,DE=5,BD=3,
AB⊥BD,DE⊥BD,當(dāng)AE在一條直線上時,AC+CE最小,
由題意得出:AB∥DE,
∴△ABC′∽△EDC′,
∴
=
,
∴
=
,
解得:BC′=
,C′D=3-
=
,
過點A作AF∥BD,交DE的延長線于F點,
根據(jù)題意,四邊形ABDF為矩形.
EF=AB+DE=2+5=7,AF=DB=3.
∴AE=
=
.
即AC+CE的最小值是
,
故:a=
,b=3-
=
時,
+
有最小值為
.
(4)證明:∵a
2+b
2=c
2,c
=a
2,
∴c
2(a
2-d
2)=a
4,
則(a
2+b
2)(a
2-d
2)=a
4,
整理得出:a
2b
2=a
2d
2+b
2d
2,
∴a
2b
2=d
2(a
2+b
2),
∴a
2b
2=d
2c
2,
∵a,b,c,d都是正數(shù),
∴ab=cd.
分析:(1)
a是直角邊長為a,2a的直角三角形的斜邊;2
a是直角邊長為2a,2a的直角三角形的斜邊;
a是直角邊長為a,4a的直角三角形的斜邊,把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積;
(2)結(jié)合(1)易得此三角形的三邊分別是直角邊長為m,4n的直角三角形的斜邊;直角邊長為3m,2n的直角三角形的斜邊;直角邊長為2m,2n的直角三角形的斜邊.同樣把它整理為一個矩形的面積由(1)的結(jié)果可作BD=12,過點A作AF∥BD,交DE的延長線于F點,使AB=2,ED=3,連接AE交BD于點C,然后構(gòu)造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性質(zhì)(3)可作BD=3,過點A作AF∥BD,交DE的延長線于F點,使AB=2,ED=5,連接AE交BD于點C,然后構(gòu)造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值就是代數(shù)式
+
的最小值.
(4)根據(jù)a
2+b
2=c
2,c
=a
2,得出c
2(a
2-d
2)=a
4,進(jìn)而得出(a
2+b
2)(a
2-d
2)=a
4,再去括號得出a
2b
2=d
2c
2,即可得出答案.
點評:此題主要考查了最短路線問題以及勾股定理應(yīng)用,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,通過構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵.,關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答.