Question

17．牧馬人某天要從馬廄牽出馬，先到草地邊的某一處牧馬，再到河邊飲水，然后回到帳篷，為了便于研究，以河邊為x軸、草地邊為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，馬廄P的坐標(biāo)為（2，-4），帳篷Q的坐標(biāo)為（6，-2），請你幫他確定這一天的最短路線．
（1）請你作出最短路線并簡要說明作法；
（2）求最短路線中草地邊的牧馬點(diǎn)M和河邊飲水點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）求這個最短路線的長度．

Answer 1

分析 （1）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，連接EF分別與x、y軸交于點(diǎn)N、M，此時(shí)PM+MN+NQ最�。�
（2）根據(jù)E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線EF的解析式，再分別令x=0，y=0求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．
（3）延長EP、FQ交于點(diǎn)H，在RT△EFH中利用勾股定理求出EF即可．

解答 解：（1）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，連接EF分別與x、y軸交于點(diǎn)N、M．
∵PM=EM，NF=NQ，
∴PM+MN+NQEM+MN+NF=EF，
∴此時(shí)PM+MN+NQ最�。▋牲c(diǎn)之間線段最短）．
（2）∵點(diǎn)E坐標(biāo)（-2，-4），點(diǎn)F坐標(biāo)（6，2），
∴最小EF的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（0，-$\frac{5}{2}$），點(diǎn)N坐標(biāo)（$\frac{10}{3}$，0）．
（3）延長EP、FQ交于點(diǎn)H，
由（1）可知PM+MN+NQ的最小值=EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

點(diǎn)評 本題考查最短問題、坐標(biāo)與圖形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、勾股定理等知識，利用對稱根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短找到M、N的位置是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會利用函數(shù)解決點(diǎn)的坐標(biāo)問題，求最小值時(shí)用轉(zhuǎn)化的思想，利用勾股定理去解決，屬于中考常考題型．