Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=4

3

，AD=3，∠B=30°．動點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段BC上運動；動點F同時從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在線段BC上運動．以EF為邊作等邊△EFG，與梯形ABCD在線段BC的同側(cè)．設(shè)點E、F運動時間為t，當(dāng)點F到達C點時，運動結(jié)束．
（1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊EG恰好經(jīng)過點A時，求運動時間t的值；
（2）在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG與梯形ABCD的重合部分面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當(dāng)點F到達C點時，將等邊△EFG繞點E旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜360），直線EF分別與直線CD、直線AD交于點M、N．是否存在這樣的α，使△DMN為等腰三角形？若存在，請求出此時線段DM的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）如圖3，作AP⊥BC于P，當(dāng)EG恰好經(jīng)過點A時，由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出AE=BE=t，EF=t，故GE=t，點G與點A重合，由勾股定理就可以求出結(jié)論；
（2）分類討論，當(dāng)0＜t≤4時，如圖2，當(dāng)4＜t≤

11

2

時，如圖4，當(dāng)

11

2

＜t≤7時，如圖5，當(dāng)7＜t≤

15

2

時如圖6，分別根據(jù)三角形的面積公式，梯形的底面積公式就可以求出結(jié)論；
（3）如圖8．如圖9．如圖10，由等腰三角形的性質(zhì)分情況當(dāng)M、N分別在線段CD和AD及直線CD和AB上時由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)EG經(jīng)過點A時，作AP⊥BC于P，
∴∠APB=90°．
∵∠B=30°，
∴AP=

1

2

AB．
∵AB=4

3

，
∴AP=2

3

．
∴BP=6，
∴CR=6．BC=6+6+3=15．
∵△EGF為等邊三角形，
∴∠AEF=60°=∠B+∠BAE
∴∠BAE=∠B=30°
∴BE=AE=t=EF
∴此時G與A，重合，
∴∠PAE=30°，
∴EP=

1

2

AE=

1

2

t．
∴在Rt△AEP中
t²-

1

4

t²=12，
解得：t=4s．
答：當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊EG恰好經(jīng)過點A時，求運動時間t的值為4s；

（2）當(dāng)0＜t≤4時，如圖2，作GP⊥BC于P，
∴∠GPE=90°．
∵BF=2t，BE=t，
∴EF=t．
∵△GEF是等邊三角形，
∴EG=FG=EF=t，∠GEF=∠GFE=60°，
∴GP=

3

2

t．
∴S=

1

2

×t×

3

2

t=

3

4

t²；
當(dāng)4＜t≤

11

2

時，如圖4，作HP⊥BC于P，
∴HP=2

3

．
∵△GEF是等邊三角形，
∴EG=FG=EF=t，∠GEF=∠GFE=60°，
∴EP=2，EH=4．
∴HG=t-4．
∵HD∥EF，
∴∠GHD=∠GDH=60°，
∴△GHD為等邊三角形，
∴GH=DH=t-4．
∴S=

1

2

×（t-4+t）×2

3

=2

3

t-4

3

；
當(dāng)

11

2

＜t≤7時，如圖5，作HP⊥BC于P，PT⊥BC于t，
∴∠HPE=∠PTF=90°．
∴HP=2

3

，AH=t-4，HD=3-（t-4）=7-t，PF=CF=15-2t．
∵△GEF是等邊三角形，
∴EG=FG=EF=t，∠GEF=∠GFE=60°，
∴∠TPF=30°，
∴TF=

15-2t

2

，
∴PT=

15-2t

2

3

．
∵BE=t，
∴EC=15-t
∴S=S_梯形HDCE-S_△PFC=

1

2

×2

3

×（7-t+15-t）-

1

2

×（15-2t）×

15-2t

2

3

=-

3

t²+13

3

t-

137 3

4

．
當(dāng)7＜t≤

15

2

時如圖6，作HT⊥BC于T，
∴HT=

15-2t

2

，
∵△GEF是等邊三角形，
∴EG=FG=EF=t，∠GEF=∠GFE=60°，
∵∠C=30°，
∴∠EPC=90°，
∴PE=

1

2

EC．
∵EC=15-t，
∴PE=

15-t

2

，
∴PC=

15-t

2

3

，
∴S=S△PEC-S△HFC=

1

2

×

15-t

2

×

15-t

2

3

-

1

2

×（15-2t）×

15-2t

2

3

=-

7

8

3

t2+

45

4

3

t-

225 3

8

，
∴s=

3 4 t2(0＜t≤4) 2 3 t-4 3 (4＜t≤ 11 2 ) - 3 t2+13 3 t- 137 3 4 ( 11 2 ＜t≤7) - 7 8 3 t2+ 45 3 4 t- 225 3 8 (7＜t≤ 15 2 )

；

（3）如圖8，當(dāng)DM=DN時，則有CM=CE=

15

2

，
∴∠1=∠2=∠4=75°，
∴DM=4

3

-

15

2

＜0，
∴不存在．
當(dāng)DM=DN時，
∴∠1=∠2=∠4=30°，
∴由勾股定理，得CM=

5

2

3

∴ME=MC．DM═CD-CM=4

3

-

5

2

3

=

3

2

3

；
當(dāng)ND=NM時，∠2=∠3=30°，
∴∠1=∠4=120°，
∴CM=

15

2

3

，
∴DM=4

3

-

15

2

3

＜0，
∴不存在．
如圖9，當(dāng)DM=DN時，∠2=∠3=∠4=75°，
∴CN=CE；DM=DN，
∴DM=CE-CD=

15

2

-4

3

當(dāng)DM=MN，則有：∠1=∠3=30°；∠2=∠4=120°；ME=4
CE=EN；MD=MN；∠1=∠2=∠4=30°
DM=CE-EM=

15

2

-4=

7

2

；
當(dāng)ND=NM；∠1=∠2=30°；∠4=30°
ED²=（

1

2

CD）²+（CE-

3

2

CD）²=

57

4

＜CD²，
則有：30°＜∠DEC
∴∠4=∠DEC，不存在．
如圖10，
當(dāng)DM=DN，∠1=∠2=∠3=15°，CE=CN
DM=CD+CN=4

3

+

15

2

．
綜上所述DM的長為：

3 3

2

，

7

2

，

15

2

-4

3

，

15

2

+4

3

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式，梯形的面積公式的運用，分類討論思想的運用，解答時靈活運用分類討論的方法求解是關(guān)鍵．