Question

如圖：已知點(diǎn)P是⊙O 外一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)A，連接PO并延長交⊙O于點(diǎn)C、B．
（1）如果PB=3PC，求∠P的度數(shù)；
（2）如果PB=m•PC，∠P=45°，求m的值．

Answer 1

解：（1）連接OA．
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，即△OAP是直角三角形．
∵PB=PC+CO+BO，
PB=3PC，BO=CO，
∴PC=CO．
又PO=PC+CO，
∴PO=2OC．
∵OA=OC，
∴PO=2OA．
∴∠P=30°．

（2）由（1）得△OAP是直角三角形．
∵∠P=45°，
∴∠AOP=45°．
∴OA=PA．
設(shè)OA=x，則OB=OC=PA=x．
根據(jù)勾股定理得：PO=．
∴PB=PO+BO=，
PC=PO-OC=．
∵PB=m•PC，
∴=，
∴．
分析：（1）連接OA，則OA⊥PA．根據(jù)已知條件易得OP=2OA，從而求得∠P的度數(shù)；
（2）如果∠P=45°，那么△AOP是等腰直角三角形．設(shè)半徑為x，分別表示PB、PC，得方程求解．
點(diǎn)評：此題考查切線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，涉及二次根式的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)．