Question

10．操作：如圖，邊長為2的正方形ABCD，點(diǎn)P在射線BC上，將△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F．
探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度數(shù)；②若點(diǎn)E恰為線段DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)通過運(yùn)算說明點(diǎn)P會(huì)在線段BC的什么位置？并求出此時(shí)∠AFD的度數(shù)．
歸納：（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論；
猜想：（3）如圖2，若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時(shí)，∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，①由折疊得到一對(duì)角相等，再利用正方形性質(zhì)求出∠DAE度數(shù)，在三角形AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可；②由E為DF相等，得到P為BC中點(diǎn)，如圖1，連接BE交AF于點(diǎn)O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，進(jìn)而得到三角形BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BP=EG=1，得到P為BC中點(diǎn)，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；
（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由為：作AG⊥DF于點(diǎn)G，如圖1（a）所示，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求出∠1+∠2的度數(shù)，即為∠FAG度數(shù)，即可求出∠F度數(shù)；
（3）作出相應(yīng)圖形，如圖2所示，若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時(shí)，∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由為：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，設(shè)∠DAG=∠EAG=α，根據(jù)∠FAE為∠BAE一半求出所求角度數(shù)即可．

解答 解：（1）①∵∠EAP=∠BAP=30°，
∴∠DAE=90°-30°×2=30°，
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=（180°-30°）÷2=75°，
在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，
∴∠F=180°-60°-75°=45°；
②點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)時(shí)，P也為BC的中點(diǎn)，理由如下：

如圖1，連接BE交AF于點(diǎn)O，作EG∥AD，得EG∥BC，
∵EG∥AD，DE=EF，
∴EG=$\frac{1}{2}$AD=1，
∵AB=AE，
∴點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上，
同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上，
∴AF垂直平分線段BE，
∴OB=OE，
∵GE∥BP，
∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，
∴△BOP≌△EOG，
∴BP=EG=1，即P為BC的中點(diǎn)，
∴∠DAF=90°-∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，
∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=45°；
（2）∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，
證明：作AG⊥DF于點(diǎn)G，如圖1（a）所示，

在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，
∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°，即∠FAG=45°，
則∠F=90°-45°=45°；
（3）如圖2所示，∠AFE的大小不會(huì)發(fā)生變化，∠AFE=45°，

作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，
設(shè)∠DAG=∠EAG=α，
∴∠BAE=90°+2α，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAE=45°+α，
∴∠FAG=∠FAE-∠EAG=45°，
在Rt△AFG中，∠AFE=90°-45°=45°．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．