【題目】如圖,直線l與⊙O相離,過點O作OA⊥l,垂足為A,OA交⊙O于點B,點C在直線l上,連接CB并延長交⊙O于點D,在直線l上另取一點P,使∠PCD=∠PDC.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)若AC=1,AB=2,PD=6,求⊙O的半徑r和△PCD的面積.
【答案】
(1)解:連接OD,
∴∠ABC=∠OBD=∠ODB,
∵OA⊥l,
∴∠PCD+∠ABC=90°,
∴∠PCD+∠ODB=90°,
∵∠PCD=∠PDC,
∴∠PDC+∠ODB=90°,即∠ODP=90°,
∴PD是⊙O的切線;
(2)解:∵∠PCD=∠PDC,
∴PC=PD=6,
∴PA=5,
設OB=OF=OD=r,
由PA2+AO2=PD2+OD2可得52+(2+r)2=62+r2,
解得:r= ,
延長AO交⊙O于點F,連接DF,
∵∠ABC=∠DBF、∠BAC=∠BDF=90°,
∴△ABC∽△DBF,
∴ = ,即 = ,
∴DB= ,
過點D作DE⊥PC于點E,
∴△CAB∽△CED,
∴ = ,即 = ,
解得:DE= ,
∴S△PCD= PCDE= ×6× = .
【解析】(1)連接OD,知∠ABC=∠OBD=∠ODB,由∠PCD+∠ABC=90°知∠PCD+∠ODB=90°,結合∠PCD=∠PDC可得∠ODP=90°,即可得證;(2)由∠PCD=∠PDC知PC=PD=6、PA=5,根據(jù)PA2+AO2=PD2+OD2可得r= ;延長AO交⊙O于點F,連接DF,證△ABC∽△DBF得 = ,即可知DB= ,作DE⊥PC于點E,由△CAB∽△CED知 = ,求得DE= ,從而求得△PCD的面積.
【考點精析】利用切線的判定定理對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】按要求畫圖,并回答問題:
如圖,在同一平面內有三點A,B,C.
(1)畫直線AC;
(2)畫射線CB;
(3)過點B作直線AC的垂線BD,垂足為D;
(4)畫線段AB及線段AB的中點E,連接DE;
(5)通過畫圖和測量,與線段DE長度相等的線段有__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的弦,C是劣弧 的中點,連BO并延長交⊙O于點D,連接CA,CB,AB與CD交于點F,已知CF=1,F(xiàn)D=2.
(1)求CB的長;
(2)延長DB到E,使BE=OB,連接CE,求證:CE是⊙O的切線.
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【題目】如圖,從坡上建筑物AB觀測坡底建筑物CD.從A點測得C點的俯角為45°,從B點測得D點的俯角為30°.已知AB的高度為10m,AB與CD的水平距離是OD=15m,則CD的高度為m(結果保留根號)
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【題目】某公司計劃從本地向甲、乙兩地運送海產(chǎn)品進行銷售.本地與甲、乙兩地都有鐵路和公路相連(如圖所示),鐵路的單位運價為2元/(噸千米),公路的單位運價為3元/(噸千米)
(1)若公司計劃往甲、乙兩地運輸海產(chǎn)品共需鐵路運費3680元,公路運費780元,求計劃從本地向甲乙兩地運輸海產(chǎn)品各多少噸?
(2)經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn),甲地海產(chǎn)品的實際需求量比計劃減少a(a>0)噸,但運到甲、乙兩地的總量不變,且運到甲地的海產(chǎn)品不少于運到乙地的海產(chǎn)品,當a為多少時,實際總運費w最低?最低總運費是多少? (參考公式:貨運運費=單位運價×運輸里程×貨物重量)
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【題目】已知點、在的邊上,,,為了判斷與的大小關系,請你填空完成下面的推理過程,并在空白括號內,注明推理的根據(jù).
解:作,垂足為
∵,
∴是________三角形,
∴________
又∵,
∴________,即________;
又∵________(自己所作),
∴是線段________的垂直平分線;
∴________
∴________.
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【題目】如圖,在⊙O中,AC與BD是圓的直徑,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分別為E、F
(1)四邊形ABCD是什么特殊的四邊形?請判斷并說明理由;
(2)求證:BE=CF.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形(如圖2).
(1)圖2中陰影部分的面積為 ;
(2)觀察圖2,請你寫出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之間的等量關系是 ;
(3)根據(jù)(2)中的結論,若x+y=5,xy=4,求x﹣y的值.
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