Question

8．如圖，在Rt△ABC張，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．點(diǎn)C，B，E，F(xiàn)在同一直線上，且B，F(xiàn)重合．現(xiàn)固定△ABC不動，將Rt△DEF沿直線BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C平移，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動．設(shè)DE，DF兩邊分別于AB邊交于M，N兩點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，當(dāng)PM=PN時(shí)，t的值為$\frac{32}{13}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P作PH⊥MN于點(diǎn)H，由∠DFE=90°，∠C=90°可得出△BFN∽△BCA，從而得到∠D=∠B，F(xiàn)N=$\frac{3}{4}$t．再由∠D=∠B，∠DNM=∠BNF得出△DNM∽△BNF，找出∠DMN=90°即PH∥DM．由PM=PN結(jié)合等腰三角形的三線合一可知P為線段DN的中點(diǎn)，用t表示出PN和DN，解關(guān)于t的一元一次方程即可得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)P作PH⊥MN于點(diǎn)H，如圖所示．

∵PM=PN，PH⊥MN，
∴MH=NH（等腰三角形三線合一）．
∵∠DFE=90°，∠C=90°，
∴DF∥AC，
∴△BFN∽△BCA，
∴$\frac{FN}{CA}=\frac{BF}{BC}$，∠D=∠B，
又∵BF=t，AC=9cm，BC=12cm，
∴FN=$\frac{3}{4}$t．
∵DF=8cm，PF=2t，
∴PN=PF-FN=$\frac{5}{4}$t，DN=DF-FN=8-$\frac{3}{4}$t．
∵∠D=∠B，∠DNM=∠BNF，
∴△DNM∽△BNF，
∴∠DMN=90°，
∴PH∥DM．
又∵M(jìn)H=NH，
∴DP=PN，即DN=2PN，
∴有8-$\frac{3}{4}$t=2×$\frac{5}{4}$t，
解得：t=$\frac{32}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、中線的定義以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是找出PH為△NDM的中位線．本題屬于中檔題，難度不大，利用相似三角形的性質(zhì)找到PH∥DM，且H為線段MN的中點(diǎn)即可．