Question

如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于點(diǎn)E．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若點(diǎn)E為線段OD的中點(diǎn)，證明：以O(shè)、A、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；

（3）作CF⊥AB于點(diǎn)F，連接AD交CF于點(diǎn)G（如圖2），求FG FC 的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）見解析（3）

【解析】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵∠CBD=∠BA，

∴∠ABC+∠CBD=90°，

∴∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD為⊙O的切線；

 

（2）證明：連CE、OC，BE，如圖，

∵OE=ED，∠OBD=90°，

∴BE=OE=ED，

∴△OBE為等邊三角形，

∴∠BOE=60°，

又∵AC∥OD，

∴∠OAC=60°，

又∵OA=OC，

∴AC=OA=OE，

∴AC∥OE且AC=OE，

∴四邊形OACE是平行四邊形，

而OA=OE，

∴四邊形OACE是菱形；

 

（3）解：∵CF⊥AB，

∴∠AFC=∠OBD=90°，

而AC∥OD，

∴∠CAF=∠DOB，

∴Rt△AFC∽R(shí)t△OBD，

∴，即，

又∵FG∥BD，

∴△AFG∽△ABD，

∴，即，

∴，

∴．

（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠BCA=90°，則∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根據(jù)切線的判定定理即可得到BD為⊙O的切線；

（2）連CE、OC，BE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BE=OE=ED，則△OBE為等邊三角形，于是∠BOE=60°，又因?yàn)锳C∥OD，則∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四邊形OACE是平行四邊形，加上OA=OE，即可得到四邊形OACE是菱形；

（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，則∠CAF=∠DOB，根據(jù)相似三角形的判定易得Rt△AFC∽R(shí)t△OBD，則有 ，即，再由FG∥BD易證得△AFG∽△ABD，則，即 ，然后求FC與FG的比即可一個(gè)定值．