Question

15．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于D，DE⊥AB交AB的延長線于E，DF⊥AC于F，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=$\frac{1}{2}AD$，DF=$\frac{1}{2}DF$，從而可證明②正確；③若DM平分∠ADF，則∠EDM=90°，從而得到∠ABC為直角三角形，條件不足，不能確定，故③錯誤；④連接BD、DC，然后證明△EBD≌△DFC，從而得到BE=FC，從而可證明④．

解答 解：如圖所示：連接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
∴①正確．
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD．
同理：DF=$\frac{1}{2}AD$．
∴DE+DF=AD．
∴②正確．
③由題意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假設(shè)MD平分∠ADF，則∠ADM=30°．則∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=90°．
∴∠ABC=90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF．
故③錯誤．
④∵DM是BC的垂直平分線，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE=FC．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF，BE=FC，
∴AB+AC=2AE．
故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．