Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，過點C作直線l∥AB，F(xiàn)是l上的一點，且CF=CA，則∠ABF=

22.5°或112.5

°．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮，分別畫出相應(yīng)的圖形，（i）當點F在點C的左邊時，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到三角形ABC的頂角為直角，底角為45°，且兩腰AC=BC，再根據(jù)直線l與AB平行，得到一對內(nèi)錯角相等，可得出∠FCB的度數(shù)，又FC=AC，等量代換可得CF=CB，同時根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CBF的度數(shù)，由∠ABC-∠CBF即可求出∠ABF的度數(shù)；（ii）當點F在點C的右側(cè)時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到三角形ABC的頂角為直角，底角為45°，且兩腰AC=BC，再根據(jù)直線l與AB平行，得到一對內(nèi)錯角相等，可得出∠FCB的度數(shù)，又FC=AC，等量代換可得CF=CB，同時根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CBF的度數(shù)，由∠ABC+∠CBF即可求出∠ABF的度數(shù)．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形如下：
分兩種情況討論：
（i）當點F在點C的左邊時，如圖①，
∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，
∵l∥AB，
∴∠FCA=∠CAB=45°，
∴∠FCB=∠FCA+∠ACB=135°，
又∵CF=CA，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF=

180°-∠FCB

2

=22.5°，
∴∠ABF=∠CBA-∠CBF=45°-22.5°=22.5°；
（ii）當點F在點C的右邊時，如圖②，
∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，
∵l∥AB，
∴∠FCB=∠CBA=45°，
又∵CF=CA，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF=

180°-∠FCB

2

=67.5°，
∴∠ABF=∠CBA+∠CBF=45°+67.5°=112.5°．
故答案為：22.5°或112.5．

點評：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及平行線的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵，同時注意本題有兩解，學生做題時不要漏解．