Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如圖1
（1）當(dāng)∠C=90°時(shí)，AD為∠BAC的平分線(xiàn)，求證：AB=AC+CD；（提示在AB上截取AE=AC）
（2）如圖2，當(dāng)∠C≠90°時(shí)，AD為∠BAC的角平分線(xiàn)，猜想線(xiàn)段AB，AC，CD的關(guān)系式

 

；（請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需要證明）
（3）如圖3，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段AB，AC，CD的關(guān)系

 

  （請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并對(duì)你的猜想給予證明）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）AB=AC+CD．首先在AB上截取AE=AC，連接DE，易證△ADE≌△ADC（SAS），則可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易證DE=CD，則可求得AB=AC+CD；
（2）AC+AB=CD．首先在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AE=AC，連接ED，易證△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易證DE=EB，則可求得AC+AB=CD．
（3）AB=CD-AC，理由為：在AF上截取AG=AC，如圖3所示，同（2）即可得證．

解答：解：（1）過(guò)D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，如圖1所示，
∵AD為∠BAC的平分線(xiàn)，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，

DE=DC AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ACB=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE=DC，
則AB=BE+AE=CD+AC；

（2）AB=CD+AC，理由為：
在AB上截取AG=AC，如圖2所示，
∵AD為∠BAC的平分線(xiàn)，
∴∠GAD=∠CAD，
在△ADG和△ADC中，

AG=AC   ∠GAD=∠CAD   AD=AD

，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD=CG，∠AGD=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AGD=2∠B，
又∵∠AGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BE=DG=DC，
則AB=BG+AG=CD+AC；

（3）AB=CD-AC，理由為：
在AF上截取AG=AC，如圖3所示，
∵AD為∠FAC的平分線(xiàn)，
∴∠GAD=∠CAD，
在△ADG和△ACD中，

AG=AC ∠GAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠FGD=2∠B，
又∵∠FGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BG=DG=DC，
則AB=BG-AG=CD-AC．
故答案是：（2）AB=CD+AC；（3）AB=CD-AC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線(xiàn)性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線(xiàn)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．