Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以每秒厘米的速度運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動(dòng)，且始終保持MQ⊥MP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說(shuō)明理由；
（2）若∠ABC=60°，AB=厘米．
①求動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
②設(shè)△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探求BP²、PQ²、CQ²三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖1為例說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)垂直的定義、直角三角形中的兩個(gè)銳角互余以及等量代換，可以證得△PBM與△QNM中的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形一定相似；
（2）①若BP=3，根據(jù)△PBM∽△QNM的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求得NQ的長(zhǎng)，即Q一分鐘移動(dòng)的距離，即點(diǎn)Q的速度；
②分別用時(shí)間t表示出AP，AQ的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的面積即可求得函數(shù)解析式．注意需要分類討論：當(dāng)0＜t＜4時(shí)，AP=AB-BP=4-t，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+t=4+t，然后由三角形的面積公式可以求得該函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t≥4時(shí)，AP=t-4，AQ=4+t，然后由三角形的面積公式可以求得該函數(shù)關(guān)系式；
（3）PQ²=BP²+CQ²．作輔助線延長(zhǎng)QM至點(diǎn)D，使MD=MQ．連接PD、BD構(gòu)建平行四邊形BDCQ．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²；最后利用線段垂直平分線的性質(zhì)知PQ=PD，所以由等量代換證得該結(jié)論．
解答：解：（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如圖1，∵M(jìn)Q⊥MP，MN⊥BC（已知），
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN（等量代換）．
∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），
∴∠PBM=∠QNM（等量代換）．
∴△PBM∽△QNM；

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8cm．
又∵M(jìn)N垂直平分BC，
∴BM=CM=4cm．
∵∠C=30°，
∴MN=CM=4cm；
①設(shè)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s．
如圖1，當(dāng)0＜t＜4時(shí)，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），即=，
∴v=1；
如圖2，當(dāng)t≥4時(shí)，同理可得v=1．
綜上所述，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s．
②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，
∴如圖1，當(dāng)0＜t＜4時(shí)，AP=AB-BP=4-t，AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+t=4+t，
∴S=AP•AQ=（4-t）（4+t）=-t²+8；
如圖2，當(dāng)t≥4時(shí)，AP=t-4，AQ=4+t，
∴S=AP•AQ=（t-4）（4+t）=t²-8；
綜上所述，S=；

（3）PQ²=BP²+CQ²．
證明如下：如圖1，延長(zhǎng)QM至點(diǎn)D，使MD=MQ．連接PD、BD，BQ，CD
∵BC、DQ互相平分，
∴四邊形BDCQ為平行四邊形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形與函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用時(shí)間t正確表示出題目中線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．