Question

在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，則四邊形ABCD的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先過A點分別作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F構(gòu)造△AEB，通過角邊角定理證得△AEB≌△AFD．再根據(jù)若平面上四點連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓判定ABCD四點共圓．從而證得△ABD是等邊三角形．最后根據(jù)正弦定理求得S_△AEC、S_△AEC進(jìn)而求得四邊形ABCD的面積．
解答：解：過A點分別作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，連接BD，

∵∠ADF+∠ABC=180°，且∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADF=∠ABE，且A，B，C，D四點共圓，
又∠ACD=60°，
∴∠ABD=∠ACD=60°，又AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF，∠BAD=∠FAD+∠BAF，
∴∠EAF=∠BAD=60°，
∴∠EAC=180°-60°=120°，
∴∠AEC=60°，
∴S_△AEC=EC•AE=AB•sin60°•AB•cos60°=，
同理S_△AFC=，
在△ABE與△ADF中，
∵∠ADF=∠ABE，AB=AD，∠AEB=∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△AFC=+=．
故答案為：．
點評：本題考查圓的性質(zhì)與判定、三角形的面積計算，是一道典型的幾何綜合題目．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造△AEB≌△AFD，根據(jù)四點共圓的性質(zhì)與判定，求得∠AEC=60°．