Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB（不包括端點A，B）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點B運動；動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC（不包括端點B，C）以每秒1個單位長度的速度，勻速向點C運動．連接DQ并延長交AB的延長線于點E，把DE沿DC翻折交BC延長線于點F，連接EF．點P，Q同時出發(fā)，同時停止，設運動時間為t秒．
（1）當DP⊥DF時，求t的值；
（2）當PQ∥DF時，求t的值；
（3）在運動的過程中，△DEF的面積是否變化？如果改變，求出變化的范圍；如果不變，求出它的值．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）首先證明△ADP∽△CDF根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

AD

CD

=

AP

CF

，進而得到

6

8

=

2t

6-t

，解出t即可；
（2）首先證明△PBQ∽△DCF可得

PB

DC

=

BQ

CF

，表示出PB=8-2t，CD=8，BQ=t，CF=CQ=6-t，代入比例式可解出t的值，再根據(jù)t的取值范圍可確定t的值；
（3）由△EBQ∽△EAD，得

BE

AE

=

BQ

AD

，進而得到BE=

8t

6-t

，再根據(jù)三角形的面積公式進行計算即可．

解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°．
∵DP⊥DF，
∴∠ADP=∠CDF．
∴△ADP∽△CDF．
∴

AD

CD

=

AP

CF

．
∵AD=6，AP=2t，CD=8，CF=CQ=6-t，
∴

6

8

=

2t

6-t

．
解得t=

18

11

．      
   
（2）∵PQ∥DF，
∴△PBQ∽△DCF．
∴

PB

DC

=

BQ

CF

．
∵PB=8-2t，CD=8，BQ=t，CF=CQ=6-t，
∴

8-2t

8

=

t

6-t

．
解得t=2或12．
∵0＜t＜4，
∴t=2．  

（3）不變．
∵△EBQ∽△EAD，
∴

BE

AE

=

BQ

AD

，即

BE

BE+8

=

t

6

．
解得BE=

8t

6-t

．  
∴△DEF的面積=

1

2

×QF×（DC+BE）=

1

2

×2（6-t）×（8+

8t

6-t

）=48．
∴△DEF的面積為48．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是掌握證明三角形相似的方法．