Question

20．在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分線，下列結(jié)論：
①△ABD，△BCD都是等腰三角形；
②AD=BD=BC；
③BC²=CD•CA；
④D是AC的黃金分割點(diǎn)
其中正確的是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，可推出△BCD，△ABD為等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解題．

解答 解：如圖，∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴△ABD，△BCD都是等腰三角形，故①正確；
∴BC=BD=AD，故②正確；
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
即BC²=CD•AC，故③正確；
∵AD=BD=BC，
∴AD²=AC•CD=（AD+CD）•CD，
∴AD=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$CD，
∴D是AC的黃金分割點(diǎn)．故④正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是明確圖形中的三個(gè)等腰三角形的特點(diǎn)．