Question

有一根直尺的短邊長(zhǎng)2cm，長(zhǎng)邊長(zhǎng)10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長(zhǎng)12cm．如圖1，將直尺的短邊DE放置與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合．將直尺沿AB方向平移（如圖2），設(shè)平移的長(zhǎng)度為xcm（0≤x≤10），直尺和三角形紙板的重疊部分（圖中陰影部分）的面積為Scm²．
（1）當(dāng)x=0時(shí)（如圖1），S=______；當(dāng)x=10時(shí)，S=______；
（2）當(dāng)0＜x≤4時(shí)（如圖2），求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)4＜x＜10時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值（同學(xué)可在圖3、圖4中畫草圖）．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，重合部分是等腰直角三角形AEF，因此面積為×2×2=2．
當(dāng)x=10時(shí)，E與B重合，此時(shí)重合部分是等腰直角三角形BDG，面積與x=0時(shí)相同．
（2）當(dāng)0＜x≤4時(shí)，F(xiàn)在AC上運(yùn)動(dòng)（包括與C重合）．重合部分是直角梯形DEFG，易知：三角形ADG和AEF均為等腰直角三角形，因此DG=x，EF=x+2，可根據(jù)梯形的面積公式求出此時(shí)S，x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)4＜x＜10時(shí)，F(xiàn)在BC上運(yùn)動(dòng)（與B、C不重合）．要分類討論：
①當(dāng)G在AC上，F(xiàn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)4＜x＜6時(shí)，重合部分是五邊形CGDEF，可用三個(gè)等腰直角三角形ABC，ADG，BEF的面積差來求得．
②當(dāng)G、F同在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括G、C重合），即當(dāng)6≤x＜10時(shí)，解法同（2）．
根據(jù)上述兩種情況可得出兩個(gè)關(guān)于S，x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．
解答：解：（1）2；2

（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，
∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，
∴S_梯形DEFG=（x+x+2）×2=2x+2．
∴S=2x+2

（3）①當(dāng)4＜x＜6時(shí)（如圖答1）
，
GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，
則S_△ADG=AD•DG=x²，S_△BEF=（10-x）²，
而S_△ABC=×12×6=36，S_△BEF=（10-x）²，
∴S=36-x²-（10-x）²=-x²+10x-14，
S=-x²+10x-14=-（x-5）²+11，
∴當(dāng)x=5，（4＜x＜6）時(shí)，S_最大值=11．
②當(dāng)6≤x＜10時(shí)（如圖答2），

BD=DG=12-x，BE=EF=10-x，S=（12-x+10-x）×2=22-2x．
S隨x的增大而減小，所以S≤10．
由①、②可得，當(dāng)4＜x＜10時(shí)，S_最大值=11．
點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)性問題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、圖形面積的求法及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)．