Question

如圖，將邊長為15的正方形OEFP置于直角坐標(biāo)系中，OE、OP分別與x軸、y軸的正半軸重合，邊長為2

3

的等邊△ABC的邊BC垂直于x軸，△ABC從點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向右平移，當(dāng)BC邊與直線EF重合時(shí)，繼續(xù)以同樣的速度向上平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，△ABC停止移動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x秒，△PAC的面積為y．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，P、A、B三點(diǎn)在同一直線上，求出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在△ABC向右平移的過程中，當(dāng)x分別取何值時(shí)，y取最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？
（3）在△ABC移動的過程中，請你就△PAC面積大小的變化情況提出一個綜合論斷．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楫?dāng)P、A、B在同一直線上時(shí)，Rt△PBF中，∠PBF=60°，所以根據(jù)三角函數(shù)與勾股定理的知識即可求得BF，DF與DE的長，則可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）首先求得AD的長，又由y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC，即可求得y與x的函數(shù)，則可知y的最大值與最小值；
（3）由圖象可知當(dāng)△ABC向右移動時(shí)，△PAC的面積逐步增大，當(dāng)△ABC向上移動時(shí)，△PAC的面積逐步減小．

解答：解：（1）如圖，當(dāng)P、A、B在同一直線上時(shí)，Rt△PBF中，∠PBF=60°，

∴BF=5

3

，DF=FB-BD=5

3

-

3

=4

3

，
則DE=15-4

3

，
∴x=12+15-4

3

=27-4

3

（秒），
∴此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，15-4

3

）；

（2）如圖，

△ABC中，AD=AC•sin60°=3，
當(dāng)0≤x≤12時(shí)，
y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC，
=

1

2

（15+

3

）（x+3）-

15

2

x-

3

2

3

，
=

15+ 3

2

x+

45+3 3

2

-

15

2

x-

3

2

3

，
=

3

2

x+

45

2

，
由一次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)x=0時(shí)，y_最小=

45

2

；
當(dāng)x=12時(shí)，y_最大=6

3

+

45

2

；

（3）當(dāng)△ABC向右移動時(shí)，△PAC的面積由

45

2

逐步增大到6

3

+

45

2

；  
當(dāng)△ABC向上移動時(shí)，△PAC的面積由6

3

+

45

2

逐步減小到

15 3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的知識以及一次函數(shù)的應(yīng)用．此題綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．