Question

4．已知拋物線(xiàn)${C_1}：y=a{（{x+2}）^2}-3$頂點(diǎn)為P，與y軸交于D（0，-1）．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值；
（2）如圖（1），將拋物線(xiàn)C₁作關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，得到拋物線(xiàn)記為C₂，求拋物線(xiàn)₂的解析式；
（3）如圖（2），拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)為Q，直線(xiàn)$y=-\frac{1}{2}x+1$交y軸于A，交x軸于B，與拋物線(xiàn)C₂在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)交于點(diǎn)E．現(xiàn)將拋物線(xiàn)C₂沿直線(xiàn)AB方向平移，當(dāng)拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)平移到x軸上時(shí)，記平移后拋物線(xiàn)為C₃，求拋物線(xiàn)C₃的解析式，并求拋物線(xiàn)C₂上 Q、E兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)弧所掃過(guò)的面積．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)D代入即可求出a，頂點(diǎn)由頂點(diǎn)式直接寫(xiě)出．
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)C₁、拋物線(xiàn)C₂，二次相系數(shù)互為相反數(shù)，頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可解決．
（3）Q、E兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)弧所掃過(guò)的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形EQMK來(lái)解決．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)${C_1}：y=a{（{x+2}）^2}-3$，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，-1）
∴-1=4a-3，
∴a=$\frac{1}{2}$
∴頂點(diǎn)為P（-2，-3）．
（2）由題意可知拋物線(xiàn)C₂為：y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+3，
∴拋物線(xiàn)C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+1．
（3）如圖由題意：Q（2，3），B（2，0）
∴QB⊥x軸
由平移可知：QB=MN=3，
∵y=-3時(shí)，-3=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴x=8，
∴拋物線(xiàn)C₃頂點(diǎn)M（8，0），
∴拋物線(xiàn)C₃W為：y=-$\frac{1}{2}$（x-8）²，
作QH⊥AB垂足為H，設(shè)直線(xiàn)QH為：y=2X+b，Q（2，3）代入得到b=-1，
∴直線(xiàn)QH為y=2x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，所以點(diǎn)H坐標(biāo)（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），
∴QH=$\sqrt{（2-\frac{4}{5}）^{2}+（3-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，QM=$\sqrt{（8-2）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$
∴Q、E兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)弧所掃過(guò)的面積等于平行四邊形QEKM的面積=QM•QH=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$$•3\sqrt{5}$=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、拋物線(xiàn)平移的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的面積等知識(shí)，掌握拋物線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．