Question

4．已知拋物線${C_1}：y=a{（{x+2}）^2}-3$頂點為P，與y軸交于D（0，-1）．
（1）求點P的坐標及a的值；
（2）如圖（1），將拋物線C₁作關(guān)于原點O對稱，得到拋物線記為C₂，求拋物線₂的解析式；
（3）如圖（2），拋物線C₂的頂點為Q，直線$y=-\frac{1}{2}x+1$交y軸于A，交x軸于B，與拋物線C₂在對稱軸右側(cè)交于點E．現(xiàn)將拋物線C₂沿直線AB方向平移，當拋物線C₂的頂點平移到x軸上時，記平移后拋物線為C₃，求拋物線C₃的解析式，并求拋物線C₂上 Q、E兩點間的拋物線弧所掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）點D代入即可求出a，頂點由頂點式直接寫出．
（2）根據(jù)拋物線C₁、拋物線C₂，二次相系數(shù)互為相反數(shù)，頂點關(guān)于原點對稱即可解決．
（3）Q、E兩點間的拋物線弧所掃過的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形EQMK來解決．

解答 解：（1）∵拋物線${C_1}：y=a{（{x+2}）^2}-3$，經(jīng)過點D（0，-1）
∴-1=4a-3，
∴a=$\frac{1}{2}$
∴頂點為P（-2，-3）．
（2）由題意可知拋物線C₂為：y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+3，
∴拋物線C₂的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+1．
（3）如圖由題意：Q（2，3），B（2，0）
∴QB⊥x軸
由平移可知：QB=MN=3，
∵y=-3時，-3=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴x=8，
∴拋物線C₃頂點M（8，0），
∴拋物線C₃W為：y=-$\frac{1}{2}$（x-8）²，
作QH⊥AB垂足為H，設(shè)直線QH為：y=2X+b，Q（2，3）代入得到b=-1，
∴直線QH為y=2x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=-\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，所以點H坐標（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），
∴QH=$\sqrt{（2-\frac{4}{5}）^{2}+（3-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，QM=$\sqrt{（8-2）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$
∴Q、E兩點間的拋物線弧所掃過的面積等于平行四邊形QEKM的面積=QM•QH=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$$•3\sqrt{5}$=18．

點評 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識、拋物線平移的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的面積等知識，掌握拋物線關(guān)于原點對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．