Question

如圖，在平行四邊形中，點O為對角線BD的中點，DE、BF分別平分∠ADC和∠ABC．
（1）求證：EF、BD互相平分；
（2）若∠A=60°，AE=2EB，AD=4，求四邊形DEBF的周長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對角相等以及角平分線的定義，證明∠ABF=∠AED，則DE∥BF，即可得到四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分即可證得；
（2）證明△ADE是等邊三角形，求得AE、DE的長，則BE即可求得，進而求得DEBF的周長．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC．
又∵DE，BF分別是∠ADC，∠ABC的平分線，
∴∠ABF=∠CDE．
又∵∠CDE=∠AED，
∴∠ABF=∠AED，
∴DE∥BF，
∵DF∥BE
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴EF，BD互相平分．

（2）由（1）知∠ADE=∠AED，
∵∠A=60°，
∴△ADE是等邊三角形．
∴AE=DE=AD=6，
又∵AE：EB=2：1，
∴EB=3．
∴四邊形DEBF的周長是18．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，證明兩線段互相平分，常用的方法是證明以兩條線段的四個端點為頂點的四邊形是平行四邊形．