Question

如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，DE、BF分別平分∠ADC和∠ABC．
（1）求證：EF、BD互相平分；
（2）若∠A=60°，AE=2EB，AD=4，求四邊形DEBF的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等以及角平分線的定義，證明∠ABF=∠AED，則DE∥BF，即可得到四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可證得；
（2）證明△ADE是等邊三角形，求得AE、DE的長(zhǎng)，則BE即可求得，進(jìn)而求得DEBF的周長(zhǎng)．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC．
又∵DE，BF分別是∠ADC，∠ABC的平分線，
∴∠ABF=∠CDE．
又∵∠CDE=∠AED，
∴∠ABF=∠AED，
∴DE∥BF，
∵DF∥BE
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴EF，BD互相平分．

（2）由（1）知∠ADE=∠AED，
∵∠A=60°，
∴△ADE是等邊三角形．
∴AE=DE=AD=6，
又∵AE：EB=2：1，
∴EB=3．
∴四邊形DEBF的周長(zhǎng)是18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，證明兩線段互相平分，常用的方法是證明以兩條線段的四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．