Question

4．如圖1所示，過點M作⊙N的切線MA、MB，切點分別為A、B，連接MN
（1）求證：∠AMN=∠BMN．
（2）如圖2所示，在圖1的基礎上作⊙M，過⊙N的圓心N作⊙M的切線NC、ND，切點分別為C、D，MA、MB分別與⊙M交于點E、F，NC、ND分別與⊙N交于點G、H，MA與ND交于點P．求證：sin∠DPM=$\frac{ME}{MP}$．
（3）求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 （1）首先連接NA，NB，由MA、MB是⊙N的切線，利用HL易證得Rt△AMN和Rt△BMN，繼而證得結(jié)論；
（2）首先連接MD，由ND是⊙M的切線，可求得sin∠DPM=$\frac{MD}{MP}$，繼而證得sin∠DPM=$\frac{ME}{MP}$；
（3）易證得EH∥MN，繼而證得∠FEH=90°，∠EFG=∠FGH=90°，則可證得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖，連接NA、NB，
∵MA、MB是⊙N的切線，
∴∠MAN=∠MBN=90°，
在Rt△AMN和Rt△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{NA=NB}\\{MN=MN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AMN和Rt△BMN（HL），
∴∠AMN=∠BMN；

（2）如圖2，連接MD，
∵ND是⊙M的切線，
∴∠MDP=90°，
∴sin∠DPM=$\frac{MD}{MP}$，
∵MD=ME，
∴sin∠DPM=$\frac{ME}{MP}$；

（3）由（2）可得sin∠APN=$\frac{NH}{NP}$，
∴$\frac{ME}{MP}$=$\frac{NH}{NP}$，
∴EH∥MN，
∵ME=MF，∠AMN=∠BMN，
∴MN⊥EF，
∴EH⊥EF，
∴∠FEH=90°，
同理可證∠EFG=∠FGH=90°，
∴四邊形EFGH是矩形．

點評 此題屬于圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定以及三角函數(shù)等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．