Question

11．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象于x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），頂點(diǎn)為D，連接BC、BD、AC、CD，將△AOC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△MOB．
（1）求拋物線解析式及直線BD的解析式；
（2）①操作一：動點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)到x軸上的點(diǎn)N，又到拋物線的對稱軸上的點(diǎn)Q，再回到y(tǒng)軸上的點(diǎn)C，當(dāng)四邊形MNQC的周長最小時，則四邊形MNQC的最小周長為2+$2\sqrt{5}$；此時，tan∠OMN=$\frac{1}{2}$；
②操作二：將△AOC旋轉(zhuǎn)的過程中，A的對應(yīng)點(diǎn)為A′C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，當(dāng)OA′⊥AC時，求直線OC′與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將△BOM沿y軸的負(fù)半軸以每秒1個單位的速度平移，當(dāng)BM過點(diǎn)D時停止平移，設(shè)平移的時間為t秒，△BOM與△BCD的重疊部分的面積為S，請直接求出S與t的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入拋物線經(jīng)過的三個點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可；根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)D坐標(biāo)，用兩點(diǎn)法求直線即可；
（2）①根據(jù)求線段和最小時，先找對稱點(diǎn)，再連接取交點(diǎn)即可；
②根據(jù)已知得出OC′∥AC，即可得出OC′的解析式，聯(lián)立拋物線解方程組即可；
（3）先求出重合部分的頂點(diǎn)坐標(biāo)再根據(jù)面積公式計算即可．

解答 解：（1）如圖1

由二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3，
可求頂點(diǎn)D（1，-4），
設(shè)BD：y=kx+m，代入點(diǎn)B，D坐標(biāo)得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+m}\\{-4=k+m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{m=-6}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=2x-6；
（2）如圖2

①由題意可知：△OAC≌△OMB，
∴OM=OA=1，
M（0，1），
作M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M₁（0，1），點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)C₁（2，3），
連接M₁C₁，交x軸于點(diǎn)N，交拋物線對稱軸于點(diǎn)Q，
此時四邊形MNQC的周長最小，為：2+$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2+$2\sqrt{5}$，
tan∠OMN=tan∠OM₁N=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
②∵OA′⊥AC，OC′⊥OA′，
∴OC′∥AC，
運(yùn)用兩點(diǎn)法可求AC：y=-3x-3，
∴OC′解析式為：y=-3x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，或x=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，
∴直線OC′與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{3-3\sqrt{13}}{2}$），（$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$）；
（3）如圖3

平移的時間為t秒時，0的對應(yīng)點(diǎn)為O₂（0，-t），M的對應(yīng)點(diǎn)M₂（0，-t-1），
O₂B₂交BC于F，交BD于G，M₂B₂交BC于E，交BD于點(diǎn)H，
用兩點(diǎn)法可求直線MB的解析式為：y=$\frac{1}{3}x-1$，
此時，M₂B₂的解析式為：y=$\frac{1}{3}x-1$-t，
用兩點(diǎn)法可求直線BD解析式為：y=2x-6，直線BC的解析式為：y=x-3，
把y=-t代入BD解析式為：y=2x-6，解得：x=$-\frac{t}{2}+3$，
∴點(diǎn)G（$-\frac{t}{2}+3$，-t），
把y=-t代入直線BC的解析式為：y=x-3，得：x=-t+3，
∴F（-t+3，-t），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-1-t}\\{y=2x-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{3}{5}t}\\{y=-\frac{6}{5}t}\end{array}\right.$，
∴H（$3-\frac{3}{5}t$，$-\frac{6}{5}t$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-1-t}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{3}{2}t}\\{y=-\frac{3}{2}t}\end{array}\right.$，
∴E（$3-\frac{3}{2}t$，$-\frac{3}{2}t$），
∴S=$\frac{1}{2}$[3-（-t+3）]×[-t-（$-\frac{3}{2}t$）]-$\frac{1}{2}$[3-（$-\frac{t}{2}+3$）]×[-t-（$-\frac{6}{5}t$）]
=$\frac{1}{5}{t}^{2}$ （0≤t≤$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會求拋物線頂點(diǎn)，知道線段和最小的基本解決方法，會用變量表示交點(diǎn)坐標(biāo)并進(jìn)一步表示圖形面積是解題的關(guān)鍵．