Question

6．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=2，將線段OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)150°至OB的位置，若經(jīng)過點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
（1）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點(diǎn)D是線段OB下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形ABDO面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BC⊥OC，垂足為C，由題意可知∠BOC=30°，OB=2，先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A、O、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而可求得a、b、c的值；
（2）先求得拋物線的對稱軸為x=1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，a），由兩點(diǎn)間的距離公式求得PO、PB的長，然后分為PO=PB，OB=BP，BP=BO三種情況列方程求解即可；
（3）過點(diǎn)D作x軸的垂線，交OB于點(diǎn)C．先求得直線OB的解析式為y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$a²+$\frac{6-4\sqrt{3}}{3}$a），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}a$），從而可表示出DC的長，由三角形的面積公式可求得△OBD的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△OBD的面積的最大值，然后再求得△AOB的面積，從而可求得四邊形AODB的最大面積．

解答 解：（1）如圖所示：過點(diǎn)B作BC⊥OC，垂足為C．

∵∠BOA=150°，OB=OA，
∴∠BOC=30°，OB=2．
∴BC=1，OC=$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1）．
將（0，0）、（2，0）、（-$\sqrt{3}$，1）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{3a-\sqrt{3}b+c=1}\end{array}\right.$，
解得：c=0，a=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$，b=$\frac{6-4\sqrt{3}}{3}$，
故拋物線的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$x²+$\frac{6-4\sqrt{3}}{3}$x．
（2）由x=-$\frac{2a}$可知；x=1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，a）．
當(dāng)OP=OB時，由點(diǎn)間的距離公式可知：1²+a²=2，解得a=±$\sqrt{3}$，
∵a=±$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）．
當(dāng)PO=PB時，由兩點(diǎn)間的距離公式可知；1²+a²=（1+$\sqrt{3}$）²+（a-1）²，解得：a=2+$\sqrt{3}$．
∵a=2+$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，2+$\sqrt{3}$）．
當(dāng)PB=OB時．
∵PB≥$\sqrt{3}$+1，OB=2，
∴PB＞OB．
∴此種情況不成立．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）或（1，2+$\sqrt{3}$）．
（3）如圖2所示：過點(diǎn)D作x軸的垂線，交OB于點(diǎn)C．

設(shè)OB的解析式為y=kx．
∵將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：-$\sqrt{3}$k=1，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線OB的解析式為y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$a²+$\frac{6-4\sqrt{3}}{3}$a），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}a$）．
∴△OBD的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（$\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$a²+$\frac{3\sqrt{3}-6}{3}$a）=$\frac{3\sqrt{3}-6}{6}{a}^{2}+\frac{9-6\sqrt{3}}{6}$a．
∴當(dāng)a=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$時，△OBD的面積最大值，△OBD的面積的最大值=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
∵△AOB的面積=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴四邊形AODB的最大面積=1+$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、特殊銳角三角函數(shù)值、二次函數(shù)的最值，求得△OBD的面積與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．