Question

14．如圖．點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的兩條長(zhǎng)邊AB、CD的中點(diǎn)．AF與DE相交于點(diǎn)M．CE與BF相交于點(diǎn)N．
（1）寫(xiě)出四條不同類(lèi)型的結(jié)論．
（2）連接MN．若MN=AM．求證：△AEM是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和判定以及平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)果；
（2）由矩形的性質(zhì)得出AB=DC，AB∥DC，∠EAD=∠EBC=90°，證出AE=BE=DF=CF，得出四邊形AEFD、四邊形BEFC是平行四邊形，得出四邊形AEFD、四邊形BEFC是矩形，得出AM=EM=FM，BN=FN，證出MN是△ABF的中位線(xiàn)，由三角形中位線(xiàn)定理得出MN=$\frac{1}{2}$AB=AE，證出AM=AE=EM即可．

解答 （1）解：四邊形AEFD是矩形，AM=EM，四邊形BEDF是平行四邊形，AF=EC；
（2）證明：如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，∠EAD=∠EBC=90°，
∵點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的兩條長(zhǎng)邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴AE=BE=DF=CF，
∴四邊形AEFD、四邊形BEFC是平行四邊形，
又∵∠EAD=∠EBC=90°，
∴四邊形AEFD、四邊形BEFC是矩形，
∴AM=EM=FM，BN=FN，
∴△AEM是等腰三角形，MN是△ABF的中位線(xiàn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∵M(jìn)N=AM，
∴AM=AE=EM，
即△AEM是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、等邊三角形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由三角形中位線(xiàn)定理得出MN等于AB的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．