Question

如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=2，F(xiàn)、E分別在AB、CD上，連接DF、CF、AE、BE交于Q、P．求四邊形PEQF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)梯形的對角線分得的四個三角形的面積關(guān)系，得出面積關(guān)系，再結(jié)合不等式的性質(zhì)得出面積不等式，根據(jù)不等式的性質(zhì)得出c+f的最大值．
解答：解：先證明一個結(jié)論．
如左圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于E點，
設(shè)S_△AED=a，S_△BEC=b，S_△ABE=c，S_△DEC=d，
有a•b=c•d，c=d，∴c=d=，
∵（-）²≥0，
∴a+b≥2=c+d，
當(dāng)a=b時，“=”成立；
如右圖，連接EF，由上述結(jié)論可知
2（c+f）≤a+b+d+e，
故4（c+f）≤a+b+e+d+2c+2f=8，
得c+f≤2，
當(dāng)a=b、d=e時，即AD∥EF時，等號成立．
∴四邊形PEQF面積的最大值為2．
點評：本題考查了圖形的面積及等積變換．關(guān)鍵是由梯形的對角線分得四個三角形，推出面積的關(guān)系式．