Question

5．已知：如圖1，一次函數y=mx+5m的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與函數y=-x的圖象交于點C，點C的橫坐標為-3．
（1）求點B的坐標；
（2）若點Q為直線OC上一點，且S_△QAC=3S_△AOC，求點Q的坐標；
（3）如圖2，點D為線段OA上一點，∠ACD=∠AOC，點P為x軸負半軸上一點，且點P到直線CD和直線CO的距離相等．求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點C的橫坐標代入正比例函數解析式，求得點C的縱坐標，然后把點C的坐標代入一次函數解析式即可求得m的值，則易求點B的坐標；
（2）由S_△QAC=3S_△AOC得到點Q到x軸的距離是點C到x軸距離的3倍或點Q到x軸的距離是點C到x軸距離的2倍；
（3）利用△CAO∽△DAC，求出AD的長，進而求出D點坐標，再用待定系數法求出CD解析式，利用點到直線的距離公式求出公式，$\frac{|5a+0+12|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|a|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，解出a的值即可．

解答 解：（1）把x=-3代入y=-x得到：y=3．則C（-3，3）．
將其代入y=mx+5m，得
3=-3m+5m，
解得 m=$\frac{3}{2}$．
則該直線方程為：y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$．
令x=0，則y=$\frac{15}{2}$，
即B（0，$\frac{15}{2}$）；

（2）由（1）知，C（-3，3）．
如圖1，設Q（a，-a）．
∵S_△QAC=3S_△AOC，
∴S_△QAO=4S_△AOC，或S_△Q′AO=2S_△AOC，
①當S_△QAO=4S_△AOC時，
$\frac{1}{2}$OA•y_Q=4×$\frac{1}{2}$OA•y_C，
∴y_Q=4y_C，即|-a|=4×3=12，
解得 a=-12（舍去正值），
∴Q（-12，8）；
②當S_△Q′AO=2S_△AOC時，
$\frac{1}{2}$OA•y_Q=2×$\frac{1}{2}$OA•y_C，
∴y_Q=2y_C，即|-a|=2×3=6，
解得 a=6（舍去負值），
∴Q′（6，-4）；
故點Q的坐標為（-12，8）或（6，-4）；

（3）∵直線方程為：y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$，令y=0，解得x=-5，
∴A（-5，0），
∵C（-3，3），
∴AC=$\sqrt{（-3+5）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，
∴△CAO∽△DAC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AO}$，即$\frac{AD}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$，
∴AD=$\frac{13}{5}$，
∴OD=5-$\frac{13}{5}$=$\frac{12}{5}$，
則D（-$\frac{12}{5}$，0）．
設CD解析式為y=kx+b，
把C（-3，3），D（-$\frac{12}{5}$，0）分別代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-\frac{12}{5}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
函數解析式為y=-5x-12，
設P點坐標為（a，0），
根據點到直線的距離公式，$\frac{|5a+0+12|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|a|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，
兩邊平方得，（5a+12）²=13a²，
解得a=-5±$\sqrt{13}$，
∴P₁（-5-$\sqrt{13}$，0），P₂（-5+$\sqrt{13}$，0）．
故點P的坐標為（-5-$\sqrt{13}$，0）或（-5+$\sqrt{13}$，0）．

點評 本題考查了一次函數綜合題，涉及坐標與圖象的關系、待定系數法求函數解析式、角平分線的性質、點到直線的距離、三角形的面積公式等知識，綜合性較強，值得關注．