Question

如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F．
（1）求證：AD=CE；
（2）求∠DFC的度數(shù)．
（3）在（2）的結(jié)論下，過點C作CG⊥AD，CF=4，求CG．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠CAE=∠ACB=60°，AC=AB，
∵在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE，
∴AD=CE．


（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠CAE=60°．

（3）解：∵CG⊥AD，
∴∠CGF=90°，
∵∠DFC=60°，CF=4，
∴∠FCG=30°，
∴GF=CF=2，
由勾股定理得：CG=2．
分析：（1）求出∠B=∠CAE，AC=AB，根據(jù)SAS證出△ABD≌△CAE即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出∠DFC=∠BAC，即可得出答案；
（3）在Rt△CGF中，解直角三角形求出CG即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．