Question

3．（1）自主閱讀：如圖1，AD∥BC，連接AB、AC、BD、CD，則S_△ABC=S_△BCD．
證明：分別過點(diǎn)A和D，作AF⊥BC，DE⊥BC，由AD∥BC，可得AF=DE．
又因?yàn)镾_△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AF$，S_△BCD=$\frac{1}{2}×BC×DE$
所以S_△ABC=S_△BCD
由此我們可以得到以下的結(jié)論：像圖1這樣，同底等高的三角形面積相等．
（2）結(jié)論應(yīng)用：如果一條直線（線段）把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線（線段）稱為這個平面圖形的一條面積等分線（段）．如三角形的一條中線就是三角形的一條面積等分線段；平行四邊形的一條對角線就是平行四邊形的一條面積等分線段．
小明通過研究，發(fā)現(xiàn)過四邊形的某一頂點(diǎn)的直線可以將該四邊形平分為面積相等的兩部分．
他畫出了如下示意圖（如圖2），得到了符合要求的直線AF．
小明的作圖步驟如下：
第一步：連結(jié)AC；
第二步：過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E；
第三步：取ED中點(diǎn)F，作直線AF；
則直線AF即為所求．
請你幫小明寫出該作法的驗(yàn)證過程：
（3）類比發(fā)現(xiàn)：請參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，五邊形ABOCD，各頂點(diǎn)坐標(biāo)為：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）．請你構(gòu)造一條經(jīng)過頂點(diǎn)A的直線，將五邊形ABOCD分為面積相等的兩部分，并求出該直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（4）提出問題：
結(jié)合下面所給的情景，請自主創(chuàng)設(shè)一個問題并給以解釋：
如圖4，C是線段AB上任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)構(gòu)造等邊三角形△ACD和等邊三角形△CBE，若△CBE的面積是1cm²．
【問題】求△EBD的面積．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：同底等高的三角形面積相等．
（2）由BE∥AC得S_△ABC=S_△ACE，所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ACE+S_△ACD=S_△AED，接下來只要證明${S}_{△AFD}={\frac{1}{2}S}_{△AED}={\frac{1}{2}S}_{四邊形ABCD}$即可．
（3）根據(jù)同底等高的三角形面積相等，可以提問求△EBD的面積．

解答 解：（1）同底等高的三角形面積相等，
故答案為同底等高的三角形面積相等．
（2）如圖2中，連接AE，
∵BE∥AC，
∴S_△ABC=S_△ACE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ACE+S_△ACD=S_△AED，
∵EF=FD，
∴S_△AEF=S_△AFD，
∴${S}_{△AFD}={\frac{1}{2}S}_{△AED}={\frac{1}{2}S}_{四邊形ABCD}$．
∴直線AF平分四邊形ABCD的面積
（3）如圖3中，連接AO、AC，作BE∥AO交x軸于E，DF∥AC交x軸于F，EF的中點(diǎn)為M，則直線AM平分五邊形ABCOD的面積，
∵直線AO的解析式為y=$\frac{4}{3}x$，
∴直線BE解析式為y=$\frac{4}{3}$x+2，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（-$\frac{3}{2}$，0），
∵直線AC的解析式為y=-4x+16，
∴直線DF的解析式為y=-4x+18，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（$\frac{9}{2}$，0）
∴EF的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0），
∴直線AM的解析式為：y=$\frac{8}{3}$x-4．
（4）問題：求△EBD的面積．
故答案為求△EBD的面積．
如圖4中，∵△ADC，△EBC都是等邊三角形，
∴∠DCA=∠EBC=60°，
∴CD∥EB，
∴S_△EBD=S_△EBC=1．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)的有關(guān)知識、等積問題，把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形是解決問題的關(guān)鍵，記住三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形．