Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC⊥x軸，交直線y=2x于點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，判定點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）．（2）點(diǎn)A/的坐標(biāo)為（﹣3,4）．點(diǎn)A/在該拋物線上．（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，四邊形PACM是平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）首先求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，即可判定點(diǎn)A′是否在拋物線上．本問關(guān)鍵在于求出A′的坐標(biāo)．如答圖所示，作輔助線，構(gòu)造一對(duì)相似三角形Rt△A′EA∽R(shí)t△OAC，利用相似關(guān)系、對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理，求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；

（3）本問為存在型問題．解題要點(diǎn)是利用平行四邊形的定義，列出代數(shù)關(guān)系式求解．如答圖所示，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出PM的長(zhǎng)度，然后列方程求解．

試題解析：（1）∵與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點(diǎn)，

∴，

解得

∴拋物線的解析式為．

（2） 過點(diǎn)作⊥x軸于E，AA/與OC交于點(diǎn)D，

∵點(diǎn)C在直線y=2x上，

∴C（5，10）

∵點(diǎn)A和關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，∴OC⊥，=AD．

∵OA=5，AC=10,∴．

∵,

∴．

∴．

在和中，

∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，

∴∠=∠ACD．

又∵∠=∠OAC=90°，

∴∽．

∴即．

∴=4，AE=8．

∴OE=AE－OA=3．

∴點(diǎn)A/的坐標(biāo)為（﹣3,4）．

當(dāng)x=﹣3時(shí)， ．

所以，點(diǎn)A/在該拋物線上．

（3）存在．

理由：設(shè)直線的解析式為y=kx+b,

則，

解得

∴直線的解析式為．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M為．

∵PM∥AC，

∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC．又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，

∴．

解得（不合題意,舍去）當(dāng)x=2時(shí)，．

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，四邊形PACM是平行四邊形．