Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經(jīng)過圓上點D的直線CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）過點A作直線AB的垂線交BD的延長線于點E，且AB=

5

，BD=2，求△ABE的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：計算題

分析：（1）連接OD，由OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換后利用等式的性質(zhì)得到∠ADB=∠CDO，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB為直角，進(jìn)而確定出∠CDO為直角，即可得證；
（2）利用一對公共角相等，且一對直角相等，得到三角形ABD與三角形ABE相似，由相似得比例，求出EB的長，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AE的長，即可求出三角形ABE面積．

解答：解：（1）連接OD，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ODB=∠ADC，
∴∠ODB+∠ADO=∠ADC+∠ADO，即∠ADB=∠CDO，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD切⊙O于點D；
（2）在Rt△ADB和Rt△EAB中，
∠B=∠B，∠ADB=∠EAB=90°，
∴Rt△ADB∽Rt△EAB，
∴

AB

EB

=

DB

AB

，即EB=

AB2

BD

=

5

2

，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：AE=

BE2-AB2

=

5

2

，
∴S_△ABE=

1

2

AB•AE=

5

4

．

點評：此題考查了切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．