Question

如圖1，已知線段AC∥y軸，點B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸與G，連OB、OC．

（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；

（2）若點B、C關于y軸對稱，求證：AO⊥BO；

（3）在（2）的條件下，如圖2，點M為OA上一點，且∠ACM=45°，BM交y軸于P，若點B的坐標為（3，1），求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）等腰三角形，證明略.  

（2）解法一：設BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，

             易證AN=CK=BK，△ANG≌△BKG，∴AG=BG，

             又易證AG=OG，故設∠OAG=∠AOG=x，

             ∠GOB=∠GBO=y，∴2x+2y=180°，x+y=90°，

             ∴AO⊥BO.

     解法二：連BC，∵B、C關于y軸對稱，AC//y軸，∴AC⊥BC，

             易證△COD≌△BOE（HL），∴∠DCO=∠ABO，

             ∴∠BAC+∠BOC=180° ，設∠BAO=∠CAO=x，

             ∠OBC=∠OCB=y，∴2x+∠BOC=180° ，

             又2y+∠BOC=180° ，∴x=y，故∠OAC=∠OBC，

            ∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO⊥OB. ……   ……7′

（3）連BC，則∠ACB=90°，∵∠ACM=45° ，∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，∴BM平分∠ABC，設∠ABM=∠CBM=z，由（2）可得∠OMB=x+z， ∠OBM=y+z=x+z  ∴∠OMB=∠OBM，∴OM=OB 故△OBM為等腰直角△，作MG⊥x軸于G，BH⊥x軸于H，易證△OMG≌△OBH，∴OG=BH=1，MG=OH=3∴M(-1，3).…