Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，BD平分∠ABC．
（1）求$\frac{AC}{BC}$的值；
（2）將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），得到線段AE，在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在CE∥AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC=1，AB=x，由△BDC∽△ABC得$\frac{AB-BC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，列出方程求出x即可解決．
（2）存在．以A為圓心，AD為半徑畫圓，作CM∥AB，交⊙A于M、N兩點(diǎn)，M、N、即為所的E點(diǎn)，由AD=AM=AN=BC，AB∥CM，得四邊形ANCN是平行四邊形，四邊形ABCM是等腰梯形，由此即可解決旋轉(zhuǎn)角的大小．

解答 （1）解：∵AB=AC，∠A=36°，∠C=∠BDC=72°，
∴AD=BD=BC，
∴△BDC∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，$\frac{AC-AD}{BC}=\frac{BC}{AB}$
即$\frac{AB-BC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，設(shè)BC=1，AB=x，得x-1=$\frac{1}{x}$解得x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（或$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$舍棄），
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
（2）存在，理由如下：
證明：如圖，以A為圓心，AD為半徑畫圓，作CM∥AB，交⊙A于M、N兩點(diǎn)，M、N、即為所的E點(diǎn)．
∵AD=AM=AN=BC，AB∥CM，
∴四邊形ANCN是平行四邊形，四邊形ABCM是等腰梯形，
∴∠NAD=∠ACB=72°，∠MAB=∠ABC=72°，∠MAD=∠MAB-∠BAC=72°-36°=36°，
∴旋轉(zhuǎn)角為36°或72°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、以及平行四邊形、等腰梯形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形列出比例式，轉(zhuǎn)化為方程解決．