Question

17．（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，P為BC上任一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BM⊥AC于M．求證：PE+PF=BM．
（2）應(yīng)用：如圖2所示，已知菱形ABCD的對角線的交點(diǎn)為O，AC=2，∠BAD=60°，BD邊上有2016個不同的點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…P₂₀₁₆，過點(diǎn)P_i（i=1，2，3，…2016）作P_iE_i⊥AB于E_i，P_iF_i⊥AC于F_i．計算P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…+P₂₀₁₆E₂₀₁₆+P₂₀₁₆F₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 （1）連接AP，可分別表示出△ABC、△ABP、△ACP的面積，根據(jù)面積相等可證得結(jié)論；
（2）連接AP₁，根據(jù)菱形性質(zhì)得出AB=AD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=1，AC⊥BD，得出等邊三角形ABD，推出AD=AB=BD，根據(jù)三角形面積公式求出P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，求出即可．

解答 （1）證明：連結(jié)AP，
∵PE⊥AB  PF⊥AC  BM⊥AC
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB×PE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC×PF
S△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BM，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC
∴$\frac{1}{2}$AB×PE+$\frac{1}{2}$AC×PF=$\frac{1}{2}$AC×BM，
∵AB=AC
∴PE+PF=BM；
（2）解：連接P₁A，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=AC=$\frac{1}{2}$×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S_△ABD=S△ABP1+S△ADP1，
∴$\frac{1}{2}$×BD×AO=$\frac{1}{2}$AB×P₁E₁+$\frac{1}{2}$×AD×P₁F₁，
∴P₁E₁+P₁F₁=AO=1，
同理P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，
∴P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₆E₂₀₁₆+P₂₀₁₆F₂₀₁₆的值為2016×1=2016．

點(diǎn)評 （1）本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及等積法，利用等積法得到AB•PE+AC•PF=AC•BM是解題的關(guān)鍵．
（2）本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出P₁E₁+P₁F₁=P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1．