Question

如圖1，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y₁=

2

x

（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交另一個(gè)反比例函數(shù)y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）的圖象于點(diǎn)B．

（1）若S_△AOB=3，則k=

 

；
（2）當(dāng)k=-8時(shí)：
①若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，求∠AOB的度數(shù)；
②將①中的∠AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度，使∠AOB的兩邊分別交反比例函數(shù)y₁、y₂的圖象于點(diǎn)M、N，如圖2所示．在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠OMN的度數(shù)是否變化？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先設(shè)AB交y軸于C，由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得S_△AOC=

1

2

×2=1，S_△BOC=

1

2

|k|，又由S_△AOB=3，則可得1+

1

2

|k|=3，繼而求得答案；
（2）①由題意知，A（1，2），B（-4，2），則可求得AB，OA，OB的長，由勾股定理的逆定理，即可證得△AOB是直角三角形；
②首先作MF⊥x軸于F，NE⊥x軸于E，設(shè)M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），則MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，易證得Rt△ONE∽R(shí)t△MOF，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得ON：OM的值，即可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)AB交y軸于C，如圖1，
∵AB∥x軸，
∴S_△AOC=

1

2

×2=1，S_△BOC=

1

2

|k|，
∵S_△AOB=3，
∴1+

1

2

|k|=3，解得k=4或-4，
而k＜0，
∴k=-4；
故答案為：-4；

（2）①方法一：由題意知，A（1，2），B（-4，2），
∴AB=5，OA=

5

，OB=2

5

，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°，

方法二：由題意知，A（1，2），B（-4，2），
設(shè)AB與y軸相交于點(diǎn)C，則OC=2，AC=1，BC=4，
∴

OA

OC

=

OC

BC

，
∵∠OCB=∠OCA=90°，
∴△OBC∽△AOC，
∴∠OBC=∠COA，
∵∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠AOB=90°；

②不變化．理由如下：
作MF⊥x軸于F，NE⊥x軸于E，如圖2，
設(shè)M（a，

2

a

），N（b，-

8

b

），則MF=

2

a

，OF=a，OE=-b，NE=-

8

b

，
∵∠AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度，使∠AOB的兩邊分別交反比例函數(shù)y₁、y₂的圖象于點(diǎn)M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽R(shí)t△MOF，
∴

NE

OF

=

OE

MF

=

ON

OM

，
即

- 8 b

a

=

-b

2 a

=

ON

OM

，
∴a²b²=16，
∵ab＜0，
∴ab=-4，
∴

ON

OM

=

-ab

2

=

4

2

=2，
在Rt△OMN中，tan∠NMO=

ON

OM

=2，
∴在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠OMN的度數(shù)不變化．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用相似比進(jìn)行計(jì)算．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．