Question

如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下五個(gè)結(jié)論：

① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；⑤ ∠AOB=60°．

一定成立的結(jié)論有____________（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

①②③⑤．

【解析】

試題分析：①∵正△ABC和正△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正確）；

②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正確）；

③∵△CDP≌△CEQ，∴DP=QE，∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∴AD﹣DP=BE﹣QE，∴AP=BQ，（故③正確）；

④∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故④錯(cuò)誤）；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正確）．∴正確的有：①②③⑤．

故答案為：①②③⑤．

考點(diǎn)：1．等邊三角形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．動(dòng)點(diǎn)型．