Question

如圖，矩形OBCD的邊OB=2

3

，OD=4，過(guò)點(diǎn)B、C且與x軸相切于點(diǎn)A的⊙M，與y軸的另一交點(diǎn)為E．
（1）求點(diǎn)A、E的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)A、C、E三點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）可連接AM并延長(zhǎng)AM交BC于F，那么不難得出AF⊥BC，根據(jù)垂徑定理可知BF=OA=2，由此可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．
求E點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是求OE的長(zhǎng)，可連接CE，AE，AC，由于∠EBC=90°，因此CE必過(guò)圓心M，則∠EAC=90°，因此可通過(guò)相似三角形OEA和DAC來(lái)求出OE的長(zhǎng)，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、C、E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）連接AM并延長(zhǎng)AM交BC于F，
由于OD與圓M相切于A，因此AF⊥OD．
∵BC∥OD，
∴AF⊥BC
∴BF=FC=OA=AD=2，
即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）
連接CE、AE、AC，
∵∠EBC=90°，
∴CE是圓M的直徑，
∴∠EAC=90°，
可得△OEA∽△DAC，
∴

OD

OE

=

CD

OA

，
OE=OD•OA÷CD=

2 3

3

，
因此E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

2 3

3

）．

（2）已知A，C，E的坐標(biāo)分別為（2，0），（4，2

3

），（0，

2 3

3

）．
可設(shè)過(guò)這三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+

2 3

3

，
則有

4a+2b+ 2 3 3 =0 16a+4b+ 2 3 3 =2 3

，
解得

a= 3 3 b=- 3

，
因此拋物線的解析式為y=

3

3

x²-

3

x+

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的應(yīng)用以及二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．