Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c過點A、點C，且與x軸的另一交點為B（10，0），又點P是拋物線的對稱軸上一動點．
（1）求點A的坐標、拋物線的解析式及頂點N的坐標；
（2）在圖1中的上找一點P₀，使P₀到點A與點C的距離之和最��；并求△PAC周長的最小值；
（3）如圖2，在線段CO上有一動點M以每秒2個單位的速度從點C向點O移動（M不與端點C、O重合），過點M作MH∥CB交x軸于點H，設(shè)M移動的時間為秒，試把△P₀HM的面積S表示成時間的函數(shù)，當為何值時，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）由題意直線AC與x軸的交點為A，
所以當y=0，則x=-6，
所以點A（-6，0）．
同理點C（0，8），
點B（10，0），
由點A，B，C三點的二次函數(shù)式為y=ax²+bx+c，
，
解得：，
得出y==-（x-2）²+．
頂點N（2，）；

（2）要使P₀到點A與點C的距離之和最小，根據(jù)A，B關(guān)于對稱軸對稱得出，連接BC，交對稱軸于一點P，
此時P₀到點A與點C的距離之和最小，
可知三角形PAC最小即為AC+BC，
∵AC==10，BC==2，
∴△PAC周長的最小值為：10，

（3）如圖，作MN⊥BC于點N，
∵∠MCN=∠OCB，∠MNC=∠COB，
∴△OBC∽△NCM，
所以=，
即h=．
因為MH∥BC，
所以，
解得MH==，
S=MH•h，
=×（8-2t）×，
=10t-，
因為每秒移動2個單位，
則當t=-=2時符合范圍0＜t＜4，
所以當t=2時S最大為10．
分析：（1）利用一次函數(shù)與坐標中交點求法得出A，C坐標，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由軸對稱可知該題周長最小即為 AC+BC的長，從而求出；
（3）由△OBC∽△CMN，得到高關(guān)于t的式子，因為MH∥BC，得到△MHP₀三角形底邊關(guān)于t的表達式，根據(jù)t的取值范圍，從而求得S的最大值．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及利用三點求二次函數(shù)式、相似三角形的性質(zhì)等知識，利用三角形面積求出S與t的關(guān)系是解題關(guān)鍵．