Question

如果有理數m可以表示成2x²-6xy+5y²（其中x、y是任意有理數）的形式，我們就稱m為“世博數”．
（1）兩個“世博數”a、b之積也是“世博數”嗎？為什么？
（2）證明：兩個“世博數”a、b（b≠0）之商也是“世博數”．

Answer 1

【答案】分析：先將有理數m=2x²-6xy+5y²變形為（x-2y）²+（x-y）²，可知“世博數”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數）．兩個“世博數”a、b，不妨設a=j²+k²，b=r²+s²，其中j、k、r、s為任意給定的有理數．
（1）a、b之積為=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博數”；
（2）a、b（b≠0）之商=也是“世博數”．
解答：解：∵m=2x²-6xy+5y²=（x-2y）²+（x-y）²，其中x、y是有理數，
∴“世博數”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數），只須p=x-2y，q=x-y即可．（3分）
∴對于任意的兩個兩個“世博數”a、b，不妨設a=j²+k²，b=r²+s²，其中j、k、r、s為任意給定的有理數，（3分）則
（1）ab=（j²+k²）（r²+s²）=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博數”；（3分）
（2）=也是“世博數”．（3分）
點評：本題考查了因式分解的應用，掌握“世博數”的概念是解題的關鍵，注意“世博數”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數）．