Question

如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，2），C（3，0）．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥直線OA，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t≤7），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)：

（3，2）

；
（2）當(dāng)t=7時(shí)，求直線PQ的解析式，并判斷點(diǎn)B是否在直線PQ上；
（3）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）連接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面積為1：3？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，2），C（3，0），即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由A（1，2），可求得直線OA的解析式，又由PQ⊥直線OA，即可設(shè)直線PQ的解析式為：y=-

1

2

x+b，又由當(dāng)t=7時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，0），即可求得直線PQ的解析式，繼而可得點(diǎn)B在直線PQ上；
（3）分別從當(dāng)0＜t≤3，當(dāng)3＜t≤5與當(dāng)5＜t≤7時(shí)，去分析求解即可求得答案；
（4）由題意可得：當(dāng)3＜t≤5時(shí)，S_△DEF=

1

4

S_△ABC=

1

2

，當(dāng)5＜t≤7時(shí)，S_△BDE=

1

4

S_△ABC=

1

2

，則可得方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵A（1，2），C（3，0），AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，2）；
故答案為：（3，2）．

（2）∵設(shè)直線OA的坐標(biāo)為：y=kx，
∵A（1，2），
∴k=2，
即直線OA的解析式為：y=2x，
∵PQ⊥直線OA，
∴設(shè)直線PQ的解析式為：y=-

1

2

x+b，
∵當(dāng)t=7時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，0），
∴-

1

2

×7+b=0，
解得：b=

7

2

，
∴直線PQ的解析式為：y=-

1

2

x+

7

2

；
當(dāng)x=3時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)B在直線PQ上；

（3）∵直線OA的解析式為：y=2x，
∴tan∠POQ=2，即sin∠POQ=

2 5

5

，cos∠POQ=

5

5

，
∴tan∠OPQ=

1

2

，
∵OP=t，
∴OQ=

5

5

t，PQ=

2 5

5

t，
當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
當(dāng)Q與A重合時(shí)，即OQ=OA=

12+22

=

5

，
∴

5

5

t=

5

，
解得：t=5；
當(dāng)0＜t≤3，S=S_△PQO=

1

2

OQ•PQ=

1

2

×

5

5

t×

2 5

5

t=

1

5

t²；
當(dāng)3＜t≤5，如圖2，
∵PC=t-3，
∴CD=PC•tan∠OPQ=

1

2

PC=

t-3

2

，
S=S_△POQ-S_△PCD=

1

5

t²-

1

2

（t-3）×

t-3

2

=-

1

20

t2+

3

2

t-

9

4

；
∴當(dāng)3＜t≤5，s=

1

20

t2+

3

2

t-

9

4

；
當(dāng)5＜t≤7，如圖3，
∵CD=

t-3

2

，
∴BD=2-

t-3

2

=

7-t

2

，
∵AB∥x軸，
∴∠BED=∠OPQ，
∴tan∠BED=

1

2

，
∴BE=2BD=7-t，
∴S=S_梯形OABC-S_△BED=

1

2

×（2+3）×2-

1

2

×（7-t）×

7-t

2

=-

1

4

t2+

7

2

t-

29

4

，
∴當(dāng)5＜t≤7，s=-

1

4

t2+

7

2

t-

29

4

；

（4）存在．
理由：∵S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2，
∴若使得PQ分△ABC的面積為1：3，
當(dāng)3＜t≤5時(shí)，S_△DEF=

1

4

S_△ABC=

1

2

，
設(shè)AC交PQ于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥DF，
∴△CEF∽△CAB，△EDF∽△PDC，
∴EF：AB=CF：CB，EF：CP=DF：CD，
∵AB=BC，CP=2CD，
∴EF=CF，EF=2DF，
∴CF=2DF，
∴DF=CD=

t-3

2

，
∴EF=2DF=t-3，
∴

1

2

×（t-3）×

t-3

2

=

1

2

，
解得：t=3+

2

；
當(dāng)5＜t≤7時(shí)，S_△BDE=

1

4

S_△ABC=

1

2

，
即

1

2

×（7-t）×

7-t

2

=

1

2

，
解得：t=7-

2

；
綜上可得：t1=3+

2

或t2=7-

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線間的關(guān)系以及三角形的面積問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．