Question

如圖，△ACB為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，∠EOF=45°
（1）求證：△AOE∽△BFO；
（2）若AB=4，求AE•BF的值．

Answer 1

（1）證明：∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOE+∠BOF=180°-∠EOF=135°，
而∠BOF+∠BFO=180°-∠B=135°，
∴∠AOE=∠BFO，
∴△AOE∽△BFO；

（2）解：∵點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AO=BO=AB=×4=2，
∵△AOE∽△BFO，
∴=，
∴AE•BF=AO•BO=2×2=4．
分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A=∠B=45°，利用平角的定義得∠AOE+∠BOF=180°-∠EOF=135°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BOF+∠BFO=180°-∠B=135°，
則∠AOE=∠BFO，然后根據(jù)三角形相似的判定方法即可得到△AOE∽△BFO；
（2）先利用中點(diǎn)得到AO=BO=2，然后利用△AOE∽△BFO，根據(jù)相似比可計(jì)算AE•BF的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等．