16.在△ABC中,AB=15,AC=20,∠B-∠C=90°,則線段BC的長度為7.

分析 作AD⊥CB交CB的延長線于D,先證明△ABD∽△CAD,得到AD、CD的關(guān)系,設(shè)CD=4x,由勾股定理表示出AC,求出x,再由勾股定理求出BD,即可得出結(jié)果.

解答 解:作AD⊥CB交CB的延長線于D,如圖所示:
∵∠ABC-∠ACB=90°,又∠ABC-∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠ACB,又∠D=∠D=90°,
∴△ABD∽△CAD,
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$,
設(shè)CD=4x,則AD=3x,
由勾股定理得,AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}+16{x}^{2}}$=5x,
∴5x=20,
則x=4,
∴CD=16,AD=12,
由勾股定理得,BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9,
∴BC=BD-CD=16-9=7,
故答案為7.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí);正確作出輔助線、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

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