如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),以AD為直徑作⊙O交AC于E,與BC相切于點(diǎn)F,連接AF.
(1)求證:∠BAF=∠CAF;
(2)若AC=6,BC=8,求BD和CE的長(zhǎng);
(3)若AF與DE交于H,求
FH
FA
的值(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)
 
考點(diǎn):切線(xiàn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)
專(zhuān)題:
分析:(1)連結(jié)OF,運(yùn)用內(nèi)錯(cuò)角相等和等邊對(duì)等角證明.
(2)作FM⊥AB于點(diǎn)M,得出△AMF≌△ACF,求出BM,再運(yùn)用△BMF∽△BCA,得出BF=5,再運(yùn)用切割定理求解.
(3)運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)列出比例式求解.
解答:證明:(1)如圖連結(jié)OF,
∵BC與⊙O相切于點(diǎn)F,
∴OFB=90°,
又∵∠C=90°,
∴OF∥AC,
∴∠OFA=∠CAF,
∵OF=OA,
∴∠OFA=∠BAF,
∴∠BAF=∠CAF;
(2)如圖作FM⊥AB于點(diǎn)M,
∵∠BAF=∠CAF,∠C=∠AMF=90°
∴FM=FC,
在△AMF和△ACF中,
∠BAF=∠CAF
∠C=∠AMF
FM=FC

∴△AMF≌△ACF(AAS),
∴AM=AC=6,
∵AC=6,BC=8,
∴AB=
AC2+BC2
=
62+82
=10,
∴BM=10-6=4,
∵∠ABC=∠CBA,∠C=∠AMF,
∴△BMF∽△BCA,
BM
BC
=
BF
AB

4
8
=
BF
10

∴BF=5,
∵BF2=BD•BA
∴52=BD×10
∴BD=
5
2
,
∵CF=BC-BF=8-5=3,
∵CF2=CE•CA,
∴CE=CF2÷CA=9÷6=
3
2

(3)∵HE∥FC,
AH
FH
=
EA
CE
,
AH+FH
FH
=
EA+CE
CE
,
AF
FH
=
AC
CE
=4,
FH
FA
=
1
4
,
故答案為:
1
4
點(diǎn)評(píng):本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行線(xiàn)的性質(zhì)等,解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的全等和相似求出線(xiàn)段.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列現(xiàn)象:①電梯的升降運(yùn)動(dòng),②飛機(jī)在地面上沿直線(xiàn)滑行,③風(fēng)車(chē)的轉(zhuǎn)動(dòng),④冷水加熱過(guò)程中氣泡的上升.其中屬于平移的是(  )
A、①②B、①③C、②③D、③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線(xiàn),以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)D作MN⊥AC于點(diǎn)M,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)B作BG⊥MN于G.
(1)求證:△BGD∽△DMA;
(2)求證:直線(xiàn)MN是⊙O的切線(xiàn).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:
8
-4cos45°+(
1
2
-1+|-2|.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知一次函數(shù)y1=x+m的圖象與反比例函數(shù)y2=
6
x
的圖象交于A、B兩點(diǎn),已知當(dāng)x>1時(shí),y1>y2;當(dāng)0<x<1時(shí),y1<y2
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)已知雙曲線(xiàn)在第一象限上有一點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為3,點(diǎn)B的坐標(biāo)(-6,
-1),求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

目前節(jié)能燈在城市已基本普及,今年山東省面向縣級(jí)及農(nóng)村地區(qū)推廣,為響應(yīng)號(hào)召,某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲,乙兩種節(jié)能燈共1200只,這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表:
 進(jìn)價(jià)(元/只)售價(jià)(元/只)
甲型2530
乙型4560
(1)如何進(jìn)貨,進(jìn)貨款恰好為46000元?
(2)如何進(jìn)貨,商場(chǎng)銷(xiāo)售完節(jié)能燈時(shí)獲利最多且不超過(guò)進(jìn)貨價(jià)的30%,此時(shí)利潤(rùn)為多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,點(diǎn)A、B分別在x,y軸上,點(diǎn)D在第一象限內(nèi),DC⊥x軸于點(diǎn)C,AO=CD=2,AB=DA=
5
,反比例函數(shù)y=
k
x
(k>0)的圖象過(guò)CD的中點(diǎn)E.
(1)求證:△AOB≌△DCA;
(2)求k的值;
(3)△BFG和△DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),其中點(diǎn)F在y軸上,是判斷點(diǎn)G是否在反比例函數(shù)的圖象上,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn),當(dāng)四邊形ABCD(A、B、C、D各點(diǎn)依次排列)為正方形時(shí),我們稱(chēng)這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的“伴侶正方形”.
例如:在圖1中,正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)“伴侶正方形”.
(1)如圖1,若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1,求它的圖象的所有“伴侶正方形”的邊長(zhǎng);
(2)如圖2,若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=
k
x
(k>0),它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD,點(diǎn)D(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上,求m的值及反比例函數(shù)的解析式;
(3)如圖3,若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0),它的圖象的“伴侶正方形”為ABCD,C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),請(qǐng)你直接寫(xiě)出該二次函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

據(jù)報(bào)載,2014年我國(guó)將發(fā)展固定寬帶接入新用戶(hù)25000000戶(hù),其中25000000用科學(xué)記數(shù)法表示為
 

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