Question

已知半徑為6的⊙O₁與半徑為4的⊙O₂相交于點P、Q，且∠O₁P O₂= 120°，點A為⊙O₁上異于點P、Q的動點，直線AP與⊙O₂交于點B，直線O₁A與直線O₂B交于點M。

（1）       如圖1，求∠AM B的度數(shù)；

（2）       當(dāng)點A在⊙O₁上運動時，是否存在∠AM B的度數(shù)不同于（1）中結(jié)論的情況？若存在，請在圖2中畫出一種該情況的示意圖，并求出∠AM B的度數(shù)；若不存在，請在圖2中再畫出一個符合題意的圖形，并證明∠AM B的度數(shù)同于（1）中結(jié)論；

（3）       當(dāng)點A在⊙O₁上運動時，若△APO₁與△BPO₂相似，求線段AB的長。

Answer 1

解：（1）∵A、P都在⊙O₁上，∴∠A=∠APO₁

同理，∠B=∠BPO₂，

∵AB是直線，∠O₁P O₂= 120°，∴∠APO₁+∠O₁PO₂+∠BPO₂=180°

∴∠APO₁ +∠BPO₂=60°，即∠A+∠B=60°，

∴∠O₁M O₂=180°－60°=120°

(2)存在，

如圖所示

∵A、P都在⊙O₁上，∴∠A=∠APO₁，

同理，∠PBO₂=∠BPO₂，

∴∠APO₁+∠BPO₂=120°

∵∠M+∠A=∠PBM=180°－∠BPO₂

∴∠M=180°－∠BPO₂－∠A

=180°－∠BPO₂－∠APO₁=180°－120°=60°

(3)  ∵△APO₁與△BPO₂相似，且△APO₁與△BPO₂都是等腰三角形，

∴底角∠APO₁=∠BPO₂，---------1分

情況一：當(dāng)P在A、B之間時，∠APO₁=∠BPO₂=30°，

作O₁H⊥AB，O₂D⊥AB，∴AP=2HP，BP=2PD

∵O₁P=6，O_,2P=4，∴HP=，DP=

∴AB=

情況一：當(dāng)P不在A、B之間時，∠APO₁=∠BPO₂=60°，

∴PA=O₁A=6，PB= O₂B= 4，∴AB=2