Question

【題目】在△ABC 中，BC＝AC，∠BCA＝90°，P 為直線 AC 上一點，過 A作 AD⊥BP 于 D，交直線 BC 于 Q．

(1)如圖 1，當 P 在線段 AC 上時，求證：BP＝AQ．

(2)當 P 在線段 AC 的延長線上時，請在圖 2 中畫出圖形，并求∠CPQ．

(3)如圖 3，當 P 在線段 AC 的延長線上時，∠DBA＝ 時，AQ＝2BD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） 45°；（3） 22.5°．

【解析】

（1）首先根據(jù)內(nèi)角和定理得出∠DAP＝∠CBP，進而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；

（2）首先證明△AQC≌△BPC（ASA），進而得出PC＝CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)得出即可；

（3）首先證明∠P＝∠Q，進而得出△ACQ≌△BCP（ASA），即可得出BP＝AQ，求出即可．

（1）∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∠APD＝∠BPC，∴∠DAP＝∠CBP．

在△ACQ和△BCP中，∵，∴△ACQ≌△BCP（ASA），∴BP＝AQ；

（2）如圖2所示：

∵∠ACQ＝∠BDQ＝90°，∠AQC＝∠BQD，∴∠CAQ＝∠DBQ．

在△AQC和△BPC中，∵，∴△AQC≌△BPC（ASA），∴QC＝CP．

∵∠QCD＝90°，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°；

（3）當∠DBA＝22.5°時，AQ＝2BD．

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠P＝22.5°，∴∠DBA＝∠P，∴AP＝AB．

∵AD⊥BP，∴AD＝DP．

∵∠ACQ＝∠ADP＝90°，∠PAD＝∠QAC，∴∠P＝∠Q．在△ACQ和△BCP中，∵

，∴△ACQ≌△BCP（ASA），∴BP＝AQ，∴此時AQ＝BP＝2BD．

故答案為：22.5°．