Question

5．正方形ABCD中，∠EAF=45°，連接對(duì)角線BD交AE于M，交AF于N，求證：以DN、BM、MN為三邊的三角形為直角三角形．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BC到G，使BG=DF連接AG，在AG截取AH=AN，連接MH、BH，證得△ABG≌△ADF，△AMN≌△AMH，△DFN≌△BGH，最后利用等量代換求得答案即可．

解答 證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連接AG，在AG截取AH=AN，連接MH、BH，如圖所示：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BDC=∠ABD=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG=∠DAF，∠AFD=∠G，AF=AG，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AMN和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AH}\\{∠MAN=∠MAH=45°}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN=MH，
∵AF=AG，AN=AH，
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH，
在△DFN和△BGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BG}\\{∠NFD=∠G}\\{FN=GH}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△BGH（SAS），
∴∠GBH=∠NDF=45°，DN=BH，
∴∠MBH=∠ABH+∠ABD=∠ABG-∠GBH+∠ABD=90°-45°+45°=90°，
∴BM²+DN²=BM²+BH²=MH²=MN²，
∴DN、BM、MN為三邊的三角形為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．